20.2. Представление Мандельстама.

Для функции оно имеет простой вид. Как и в процессе -рассеяния, функция не имеет полюсного члена, ибо полная система не содержит одночастичных состояний. Ввиду большой симметрии процесса фоторождения пионов на пионах (функция полностью симметрична) представление Мандельстама содержит единственную спектральную функцию. Его удобно записать следующим образом:

где, например,

Точная граница области определения спектральной функции задается условием унитарности. Способ ее получения был подробно разобран на примере . Поэтому не будем повторять всех вычислений, а воспользуемся интерпретацией результатов на языке теории возмущений, введенной в § 8.4. Согласно этой интерпретации граница области задания функции определяется границами спектральных функций диаграмм рис. 41.

Уравнения границ имеют вид

Из представления (20.10) обычным, способом легко получить дисперсионное соотношение для фиксированного значения

Дисперсионное соотношение (20.11), вообще говоря, содержит ненаблюдаемую область. Действительно, при малых

Рис. 41.

значениях q (на пороге реакции ) величина выходит за пределы интервала

Нефизических значений легко избежать, если рассматривать дисперсионное соотношение при .

Выражения (20.10) и (20.11) записаны в виде, соответствующем убыванию амплитуды на бесконечности. Вообще говоря, достаточно веских аргументов в пользу невычтенных соотношений (20.11) не существует. Однако можно утверждать, что если сечения фоторождения и рассеяния ведут себя одинаковым образом на бесконечности, то инвариантная функция фоторождения убывает быстрее, чем амплитуды рассеяния.

Разница в степени роста обусловлена требованием градиентной инвариантности, которое приводит к появлению кинематического множителя в соотношении между матричным элементом и функцией (20.6). Поэтому, если предполагать справедливыми д. с. без вычитания для -рассеяния, то такое же утверждение заведомо верно для фоторождения пионов на пионах.

В пользу убывания функции приводят еще и такое соображение (Соловьев ). Известно, что последовательное рассмотрение пион-нуклонного взаимодействия в рамках идей перенормировок требует введения пион-пионного взаимодействия с неизвестным значением константы связи. С другой стороны, включение взаимодействия с электромагнитным полем не приводит к появлению новых констант, если считать константу электромагнитного взаимодействия известной (принцип минимальности электромагнитного взаимодействия). Следовательно, появление неизвестных констант вычитания в дисперсионном методе не желательно, что и определяет степень роста. Ниже будет показано, что такая точка зрения не обязательно предполагает отсутствие неизвестных констант.