Пред.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
§ 2. Задача рассеяния в квантовой механике2.1. Дисперсионные соотношения.В этом параграфе мы рассмотрим постановку задачи рассеяния в квантовой механике для определенного класса потенциалов, акцентируя внимание на переформулировке этой задачи в терминах аналитических свойств амплитуды рассеяния. Рассмотрение задачи рассеяния с этой точки зрения потребуется для того, чтобы понять смысл гипотез, определяющих свойства амплитуды рассеяния в теории поля. Кроме того, здесь будет продемонстрирована математическая техника исследования такого рода задач, которая с небольшими изменениями переносится в теорию поля. В квантовой механике задача рассеяния полностью определяется заданием потенциала
Решить эту задачу — значит найти такое решение
Здесь
Величина
соотношением
Так как начальный поток частиц равен v (v — скорость частиц вдоль
Дифференциальное уравнение (2.1) и краевое условие (2.2) можно объединить в интегральное уравнение. Для этого нужно воспользоваться функцией Грина уравнения Шредингера, описывающего свободно движущуюся частицу, которая при больших
Тогда волновая функция
Так как при больших
Следовательно, зная
Используя эти интегральные представления для амплитуды рассеяния, можно рассмотреть ее аналитические свойства по переменным Для простоты будем предполагать, что потенциал такой, что не существует связанных состояний. Впрочем, есть соответствующее доказательство аналитичности амплитуды рассеяния и без использования борновского разложения, принадлежащее Хури (1957). Используя (2.6), запишем
Такое представление удобно тем, что переменная к входит только в экспоненту. Так как
и перейдем к новой переменной
Рассмотрим подынтегральную экспоненту. При рассеянии вперед
Из неравенства для суммы сторон многоугольника Поэтому интеграл (2.6) существует в верхней полуплоскости комплексной плоскости к, равно как и все производные
Контур Г изображен на рис. 3. Если амплитуда при больших
Рис. 3. исчезает при стремлении ее радиуса к бесконечности. Будем считать, что потенциал — действительная функция
Физическое значение амплитуды рассеяния достигается, когда
Здесь и ниже символ Такого рода соотношение между действительной и мнимой частями амплитуды рассеяния называется дисперсионным соотношением. Можно также получить так называемое обратное дисперсионное соотношение:
Рис. 4. Мы покажем дальше (см. (2.17)), что оптическая теорема связывает функцию
где v — комплексная величина. При выводе д. с. (2.11) и (2.12) мы полагали, что амплитуда рассеяния убывает на бесконечности достаточно быстро. Однако из (2.6) нетрудно видеть, что первый борновский член амплитуды рассеяния вперед является постоянной действительной величиной, отличной от нуля, в то время как остальные члены борновского разложения убывают по крайней мере как Поэтому все вышеизложенные рассуждения справедливы для функции
Соотношения типа (2.11) и (2.13) встречаются не только в квантовой механике, но также и в тех областях физики, где существует конкретная связь между процессом поглощения энергии, характеризуемым функцией F, и испускания (функция
Тогда временная зависимость между этими процессами представляется интегралами типа свертки:
Д. с. для фурье-образа функции Условие возможности такого рода продолжения в квантовой механике несколько отличается от сформулированного выше условия причинности. Дело в том, что для частиц с конечной массой нельзя сформировать строго ограниченный волновой пакет (как в случае прохождения света через вещество). Кроме того, в квантовой механике нет ограничения на скорость распространения взаимодействия. Поэтому условие причинности в квантовой механике выглядит по-другому. Согласно Ван-Кампену (1953 а, б) в качестве условия причинности в квантовой механике выступает следующее требование: если система описывается волновой функцией, нормированной так, что в единице объема имеется одна частица, то в любой момент времени t вероятность нахождения этой частицы вне рассеивателя 1. В математическом формализме это соответствует тому, что выше мы использовали переход к стационарному случаю в уравнении Шредингера и выбрали функцию Грина, соответствующую расходящейся волне. В квантовой теории поля условие причинности выглядит следующим образом: события в двух точках, разделенных пространственно-подобным четырехинтервалом Однако в квантовой механике существует более сильный результат, касающийся аналитических свойств амплитуды рассеяния к
Угол между векторами
Если теперь рассматривать выражение (2.6) в верхней полуплоскости комплексной плоскости
в справедливости которого нетрудно убедиться графически. Поэтому существуют такие области интегрирования в (2.6) по
когда Учитывая поведение потенциала при больших Соответствующее дисперсионное соотношение при
Поскольку
то область интегрирования по Для этого нужно рассмотреть аналитические свойства амплитуды рассеяния по
Парциальные амплитуды удобны в тех случаях, когда нужно использовать условие унитарности, о котором речь пойдет ниже. В переменных
Поскольку д. с. (2.15) справедливы при
|
1 |
Оглавление
|