8.5. Полосовое приближение (стрип-аппроксимация).

Полученные соотношения лежат в основе особой приближенной схемы, предназначенной для описания высокоэнергетического рассеяния. Схема основана на приближении, сделанном в духе «приближения эффективного радиуса»

Предположим, что в интегралах типа (8.23) — (8.25) существенны только области, ближайшие к физической области Очевидно, что вклады именно от этих областей несут основную ответственность за быстро меняющиеся по t части функций

Рис. 20.

Во всяком случае, вклад от более далеких областей может быть приближенно представлен полиномом по t, который в случае необходимости вводится путем вычитания в правых частях этих уравнений. Если это так, то тогда достаточно знать спектральные функции в узких полосах изображенных на рис. 20. Эти функции полностью определяются соответствующими двухчастичными вкладами из кроссинг-каналов. Такое приближение, введенное впервые и Фраучи (1960), называется полосовым приближением (или стрип-аппроксимацией).

Уравнения (8.23) — (8.25) в стрип-аппроксимации получают вид (мы выписываем их не для изотопических амплитуд, а для структурных функций):

Из этих уравнений видно также, что

Соотношения (8.31) находятся в соответствии с (8.4), (8.17) и (8.28).

Обсудим некоторые следствия полученных результатов. Мы видим прежде всего, что спектральная унитарность фактически связывает высокоэнергетические характеристики амплитуды рассеяния с низкоэнергетическими. В особенно простом виде эта связь выступает в стрип-аппроксимации. Так, мнимая часть амплитуды рассеяния при высоких энергиях, выражается через интеграл от спектральной функции, соответствующей низкоэнергетической двухчастичной унитарности, в перекрестном канале.

Напротив, мнимая часть амплитуды рассеяния в области энергий ниже неупругого порога, при , выражается через интеграл от высокоэнергетической спектральной функции, при t 16. Этот факт тесно связан с псевдоскалярностью рассматриваемых частиц, т. е. с отсутствием диаграмм, имеющих одновременно двухчастичные сечения по переменным s и

Последнее обстоятельство приводит также к тому, что в низкоэнергетической области при мнимая часть амплитуды рассеяния в физической области является достаточно гладкой функцией от передачи импульса t, а следовательно, и от косинуса угла рассеяния Вследствие этого она может быть аппроксимирована полиномом низкой степени по t, т. е. небольшим числом парциальных амплитуд рассеяния. Конкретная степень полинома, равная числу парциальных волн, может быть связана в духе «приближения эффективного радиуса» с асимптотическим поведением при для мнимой части амплитуды и с поведением при при для действительной части амплитуды.

Оценка асимптотического поведения в общем случае является сложной задачей, однако в ряде частных случаев оно поддается исследованию. Так, отправляясь от представления Мандельстама и используя условие унитарности, можно получить так называемую верхнюю границу Фруассара (1960) (см. также Джин, Мартен (1962)) для модуля амплитуды рассеяния вперед:

что с помощью оптической теоремы дает для полного сечения

Оценка (8.32) приводит к выводу, что для сходимости спектрального интеграла от достаточно двух вычитаний. Этот вывод можно получить также для Делая весьма естественное допущение, что степень роста не сильно меняется при увеличении s от до приходим к заключению, что в низкоэнергетической области амплитуда рассеяния может быть достаточно хорошо аппроксимирована первыми тремя парциальными волнами с .