15.4. Связь между логарифмической и степенными ветвями.

Установим теперь связь между логарифмической и степенными ветвями. В нейтральной модели степенная ветвь представляет собой частный случай логарифмической ветви с -членом, соответствующий выходу КДД-нуля на бесконечность. Мы покажем сейчас, что подобное соответствие можно установить между резонансными степенными ветвями и логарифмической ветвью, рассмотренной в § 14.

По аналогии с нейтральной моделью мы предположим, что логарифмическое решение с -членом может быть описано выражениями (14.6), где дробно-линейные функции при стремятся к постоянным пределам. Ограничиваясь малыми , рассмотрим выражения (15.2), (15.3). При этом будем иметь в виду, что в силу малости Я эти выражения хорошо аппроксимируют решение в области, где и интегральные члены пренебрежимо малы.

Ограничимся для простоты случаем, когда все три волны имеют резонанс в одной и той же фиксированной точке Функции представим в виде

где — полиномы второй степени,

(15.16)

Условия кроссинг-симметрии и условие (14.5) в точке приводят к тому, что из коэффициентов и независимы только три. Предельный переход к степенной ветви может быть осуществлен одновременным стремлением коэффициентов к нулю. Проведем этот переход, полагая, что все пропорциональны малому параметру , и учитывая, что они связаны соотношением кроссинг-симметрии

а также, что в силу того, что является обобщенной -функцией. Эти соображения ограничивают сочетания знаков тремя возможностями:

Во всех трех случаях волна имеет резонанс в точке и нуль в точке положение которых не зависит от параметра А, и может быть фиксировано. В волнах при отрицательном знаке соответствующего кроме резонансов в точке имеется нуль, положение которого при стремится к бесконечности как Кроме того, в волнах в зависимости от знака логарифмической асимптотики, в соответствующих случаях имеются высокоэнергетические резонансы Схематическое поведение фаз рассеяния для всех трех случаев изображено на рис. 31.

Из рис. 31 видно, что в пределе мы получаем трехпараметрическую ветвь с совпадающими резонансами, рассмотренную нами ранее (§ 15.3). Тем самым установлено, что степенная ветвь решения является частным случаем логарифмической ветви, подобно тому как это имеет место в нейтральной модели.

Ясно также, что при достаточно малых е рассмотренные логарифмические ветви практически не будут отличаться от предельной степенной ветви в области не очень больших v. Другими словами, для каждого из степенных решений, рассмотренных в предыдущих разделах, существует весьма близкое к нему в интересующей нас области энергий решение с логарифмической асимптотикой и далеким КДД-полюсом.

Поэтому нет никаких оснований откидывать эти решения как находящиеся в полном противоречии с экспериментом в области больших энергий.

Рис. 31.

Эти решения представляются весьма важными, поскольку, как было показано, они дают единственную пока возможность качественного анализа многопараметрических решений, что связано с их быстрым убыванием в области больших энергий.