11.3. Решение нейтральной модели s-волнового рассеяния.

Уравнение (11.3) запишем с одним вычитанием:

проведенным согласно (11.12) в точке .

Из формулы (11.15) видно, что предположение

приводит к логарифмическому росту реальной части и, следовательно, к противоречию. Поэтому и мы можем написать уравнение для без вычитания:

Как уже отмечалось, из (11.3) также следует

Таким образом, уравнение без вычитания (11.3) является математически эквивалентным уравнению с вычитанием (11.15). Отсюда вытекает, что произвол в решении, связанный с параметром k, не является следствием вычитания.

Введем новую переменную

Уравнение (11.3) и условие унитарности (9.2) примут вид

Уравнение (11.17) решается методом Кастильехо — Далитца — Дайсона (1953). Рассмотрим для этого функцию в комплексной плоскости Она обладает следующими свойствами: 1) аналитична в плоскости z с разрезом причем

2) является обобщенной Л-функцией, т. е.

поэтому не имеет нулей нигде, за исключением действительной оси и бесконечно удаленной точки; 3) при функция может иметь любое количество изолированных нулей на отрезке Рассмотрим функцию

обладает свойствами: 1) аналитична в комплексной плоскости с разрезом причем и на разрезе ; 2) является обобщенной -функцией и, следовательно, не имеет нулей при ; 3) не имеет нигде полюсов, за исключением луча где возможно любое количество изолированных полюсов первого порядка (это следует из (2)), так как полюсы высшего порядка не обладают свойствами ;

4) не имеет нулей на действительной оси.

Отсюда можно написать общее выражение для

где

Проверим свойство (2). Имеем из

где

Отсюда вытекает, что

Проверим теперь свойство (4). при — монотонно убывающая функция, и, следовательно, для отсутствия у нее нулей на этом интервале достаточно, чтобы

где

а — функция Лежандра второго рода.

В результате получаем решение уравнения (11.17) в виде

Здесь определена формулой (11.20), а константы с подчинены условиям (11.21), (11.22). Ограничение (11.16) является следствием этих условий.

Перейдем к анализу полученного решения. Оно зависит от бесконечного набора параметров Поэтому интегральные уравнения, полученные из д. с., условий унитарности и перекрестной симметрии, не приводят к однозначному описанию процесса рассеяния. Этот факт имеет принципиальное значение, хотя, конечно, и не является неожиданным. Д. с. отражают лишь весьма общие свойства квантовой теории поля, такие как причинность, инвариантность, унитарность, и не детализируют конкретного механизма (динамики) взаимодействия. Естественно, что полученные решения не дают однозначного динамического описания процесса.