10.2. Ограничение низшими парциальными волнами.

Теперь следует разложить входящие в (10.7) и (10.8) абсорбтивные части амплитуд рассеяния по парциальным волнам, т. е., например, для

и ограничиться несколькими первыми членами ряда. Подставляя разложение (10.9) в правую часть (10.7) и учитывая симметрию относительно косинуса угла рассеяния, получаем

Соответствующая подстановка приводит (10.8) к виду

Здесь — кроссинг-матрица Чу — Мандельстама.

Отметим прежде всего, что выражения (10.10), (10.11) справедливы лишь при т. е. в областях, не охватывающих спектральных функций. Только в этом случае мы находимся внутри эллипса сходимости Лемана для . Нам, однако, предстоит, в соответствии с положением (б), оборвать ряд по V на .

Если мало, то оборванный ряд плохо аппроксимирует величины типа (10.9) и при поскольку мы находимся в нефизической области, где Для того чтобы получить представление о возможном масштабе погрешности, смоделируем близлежащий вклад в абсорбтивную часть амплитуды от спектральной функции выражением

где с — кроссинг-косинус, соответствующий каналу u; v — импульс в канале u, a t — инвариантная переменная из области спектральной функции.

Согласно известной теореме Гейне (см. Уиттекер и Ватсон ) величина может быть разложена в ряд по полиномам Лежандра

где — функция Лежандра второго рода. что соответствует т. е. энергий первого неупругого порога. Линия пересекает границу спектральной функции в точке Положим поэтому Вычисления проведем в двух точках: что соответствует значениям

Рис. 22.

Результаты вычислений для приведены в табл. 1. Таким образом, эта аппроксимация может приводить к большим ошибкам для косинусов прямого канала, близких к

Таблица 1

Тем не менее в методе Чу — Мандельстама ряд, оборванный на используют для выражений вида (10.10), (10.11) при всех v в интервале Области приводят к новым, чисто математическим трудностям. Для того чтобы проиллюстрировать их, рассмотрим вклад члена с в одну из например в -волну .

Подставим этот вклад в кроссинг-интеграл спектрального представления парциальной волны (9.5)

Меняя порядок интегрирования, получаем

Интеграл по v расходится логарифмически. Для того чтобы сделать этот интеграл сходящимся, необходимо провести вычитание в исходном спектральном представлении (9.5). Это вычитание связано не с индексом I прямого канала, а с индексом V в кроссинг-канале. В общем случае рассмотрение волны с индексом в кроссинг-канале приводит к необходимости вычитаний для всех волн в прямом канале. Таким образом, в схеме Чу — Мандельстама введение каждой высшей волны требует полной перестройки уравнений для низших волн.