12.1. Модель Дайсона. Физический смьхсл членов КДД.

Дайсон рассмотрел следующий точно решаемый гамильтониан (одна из разновидностей модели Ли):

Гамильтониан диагонален относительно «свободных состояний» которые описывают свободную рассеиваемую частицу с импульсом и источник в основном состоянии:

Гамильтониан диагонален также и относительно заданного набора «связанных» состояний где (т. е. набора возбужденных состояний рассеивателя):

Гамильтониан

где — сферически симметричная функция, описывающая положение и форму источника, Q — оператор, матричные элементы которого характеризуют вероятности перехода из основного состояния в связанное, оператор поглощения рассеиваемой частицы.

Решение модели Дайсона имеет вид

где и — фурье-образ ,

Это решение удовлетворяет нелинейному сингулярному уравнению типа (11.17), если является нулем между

полюсами - и Положения резонансов следуют из решения уравнения

Если же , то точка соответствует полюсу в , или связанному состоянию в амплитуде рассеяния.

Таким образом, можно сделать вывод, что для любых можно придумать такую модель рассмотренного типа, что решение сингулярного уравнения с данной КДД-неопределенностью будет точным решением гамильтоновой задачи, и появление членов и будет соответствовать введению возбужденного состояния источника. Это означает, что уравнения типа — дисперсионные уравнения рассеяния мезонов на фиксированном нуклоне — описывают только те свойства амплитуды рассеяния, которые не зависят от ряда свойств источника.

Такое толкование КДД-неопределенностей при рассеянии на фиксированном источнике является ключом к пониманию смысла КДД при релятивистском рассеянии (мезонов на мезонах). В этом случае можно представить, что существует непосредственное взаимодействие двух мезонов (зх-мезонов с единичной массой) с третьим мезоном (-мезоном), имеющим неперенормированную массу и константу связи Тогда будут функциями На примере релятивистского аналога модели Ли — модели Захариасена (1961) можно и в явном виде рассчитать эти функции).

Положение определяемое решением уравнения

дает квадрат массы -мезона, перенормированной прямым взаимодействием -мезонов , а полуширина

есть квадрат константы связи g, перенормированной непосредственным -взаимодействием. Поскольку и являются функциями а затравочные массы и константы связи можно в широких пределах вводить произвольно, то и в зтом случае в рамках дисперсионной теории мы не получаем критерия для выбора При этом -мезон можно интерпретировать как нестабильную частицу, если Нестабильная частица описывается полюсом на втором римановом листе, причем расстояние этого полюса от действительной оси характеризует время жизни этой частицы, а расстояние от мнимой оси — массу. Действительно, на втором римановом листе функция имеет вид

Считая и малой величиной, получим в точке

и

Между любыми двумя нулями функции лежит резонанс, и так как то где — число КДД-нулей. Этот факт является отражением известной теоремы Левинсона (1949), которая утверждает, что

где — число резонансов, — число связанных состояний.