12.1. Модель Дайсона. Физический смьхсл членов КДД.
Дайсон рассмотрел следующий точно решаемый гамильтониан (одна из разновидностей модели Ли):
Гамильтониан
диагонален относительно «свободных состояний»
которые описывают свободную рассеиваемую частицу с импульсом
и источник в основном состоянии:
Гамильтониан
диагонален также и относительно заданного набора «связанных» состояний
где
(т. е. набора возбужденных состояний рассеивателя):
Гамильтониан
где
— сферически симметричная функция, описывающая положение и форму источника, Q — оператор, матричные элементы которого
характеризуют вероятности перехода из основного состояния в связанное,
оператор поглощения рассеиваемой частицы.
Решение модели Дайсона имеет вид
где и
— фурье-образ
,
Это решение удовлетворяет нелинейному сингулярному уравнению типа (11.17), если
является нулем между
полюсами - и
Положения резонансов
следуют из решения уравнения
Если же
, то точка
соответствует полюсу в
, или связанному состоянию в амплитуде рассеяния.
Таким образом, можно сделать вывод, что для любых
можно придумать такую модель рассмотренного типа, что решение сингулярного уравнения с данной КДД-неопределенностью будет точным решением гамильтоновой задачи, и появление членов
и
будет соответствовать введению возбужденного состояния источника. Это означает, что уравнения типа
— дисперсионные уравнения рассеяния мезонов на фиксированном нуклоне — описывают только те свойства амплитуды рассеяния, которые не зависят от ряда свойств источника.
Такое толкование КДД-неопределенностей при рассеянии на фиксированном источнике является ключом к пониманию смысла КДД при релятивистском рассеянии (мезонов на мезонах). В этом случае можно представить, что существует непосредственное взаимодействие двух мезонов (зх-мезонов с единичной массой) с третьим мезоном (
-мезоном), имеющим неперенормированную массу
и константу связи
Тогда
будут функциями
На примере релятивистского аналога модели Ли — модели Захариасена (1961) можно и в явном виде рассчитать эти функции).
Положение
определяемое решением уравнения
дает квадрат массы
-мезона, перенормированной прямым взаимодействием
-мезонов
, а полуширина
есть квадрат константы связи g, перенормированной непосредственным
-взаимодействием. Поскольку
и
являются функциями
а затравочные массы и константы связи можно в широких пределах вводить произвольно, то и в зтом случае в рамках дисперсионной теории мы не получаем критерия для выбора
При этом
-мезон можно интерпретировать как нестабильную частицу, если
Нестабильная частица описывается полюсом на втором римановом листе, причем расстояние этого полюса от действительной оси характеризует время жизни этой частицы, а расстояние от мнимой оси — массу. Действительно, на втором римановом листе функция
имеет вид
Считая
и
малой величиной, получим
в точке
и
Между любыми двумя нулями функции
лежит резонанс, и так как
то
где
— число КДД-нулей. Этот факт является отражением известной теоремы Левинсона (1949), которая утверждает, что
где
— число резонансов,
— число связанных состояний.