ПРИЛОЖЕНИЕ 2

Рассмотрим функцию

Логарифм в условии унитарности (2.30) получается из Ф(z), если . Пусть и пусть ветвь логарифма выбрана так, что при фаза логарифма равна нулю. Точка ветвления логарифма как функция имеет вид

Максимальное возможное значение как функции равно и максимум достигается, когда . Если то точка ветвления логарифма лежит перед точкой (рис. ). Поэтому эта точка не будет нас интересовать. Разобьем прямую — на три области, как показано на рис. П. 2.

Рис. П.1

В области I фаза логарифма равна нулю и — вещественная функция.

Для того чтобы попасть в область II, надо обойти Рис. точку ветвления функции Обозначим через граничные значения функции в области II после обхода точки сверху и снизу соответственно. Тогда получим

Видно, что функции и совпадают, т. е. в результате обхода точки функция не ветвится. Можно записать в области II:

Поскольку логарифм в этой области не ветвится, то arctg в окрестности точки стремится к нулю.

Для того чтобы перейти в окрестности точки в область III, нужно знать, к какому углу стремится arctg — к нулю или . Это зависит от того, обращается ли знаменатель аргумента arctg в нуль или нет, т. е. проходит ли arctg угол . Если , то arctg в окрестности точки стремится к нулю. Поэтому, обходя сверху и снизу точку мы не получим скачка функции в области III вплоть до логарифмической точки ветвления .

Рис. П.2

Совершенно другая ситуация получается, если . В этом случае в малой окрестности справа от точки

и, следовательно, в области III

В этом случае точкой ветвления функции является точка и скачок на разрезе равен . В формуле (2.30)

где

Ветвь логарифма вещественна при , поэтому удобно расположить области I, II, III в порядке, обратном показанному на рис. Так как то области II реализуется случай arctg, и, следовательно, в области III, когда

Применим результат исследования функции к проблеме продолжения условия унитарности для реакции в область ниже физического порога.

При продолжении условия унитарности для парциальных амплитуд (Мандельстам ) реакции из области физических энергий до необходимо, чтобы порог кроссинг-интеграла был ниже При этом ближайшие особенности на кроссинг-разрезе определяются проекциями на состояния сданным I полюсных членов и и связаны с энергией NN-системы соотношениями (21.25), и в

Поэтому необходимо исследовать функцию где Так как то в области II реализуется случай и следовательно в области III скачок равен нулю вплоть до точки

Таким образом, условие унитарности можно аналитически продолжить до .