8.3. Несовместность двухчастичной унитарности и кроссинг-симметрии.
Полученные соотношения, однако, не удовлетворяют условию кроссинг-симметрии, являющейся неотъемлемым атрибутом квантовополевого случая.
В самом деле, в простейшем нейтральном случае спектральные функции должны быть симметричными функциями своих аргументов:
Выражения (8.10) и (8.13) этой симметрией, очевидно, не обладают.
Мы видим, таким образом, что д. с., следующие из представления Мандельстама, совместно с двухчастичным условием унитарности однозначно определяют спектральные функции. Однако последние при этом не удовлетворяют условию кроссинг-симметрии. Несимметрична даже область, в которой 
отличны от нуля. Условия аналитичности, двухчастичной унитарности и кроссинг-симметрии оказываются несовместными.
Для того чтобы восстановить кроссинг-симметрию, следует учесть двухчастичную унитарность в кроссинг-каналах — «канале t» (где роль квадрата полной энергии вместо s играет переменная t) и «канале u». Этим путем мы придем к картине, изображенной на рис. 18. Теперь, например, спектральная функция 
состоит из двух слагаемых:
первое из которых определяется выражением (8.10), а второе возникает из рассмотрения двухчастичной унитарности в «канале t». Аналогичными суммами представляются спектральные функции 
Полученные выражения обладают должными свойствами симметрии. Например, в нейтральной модели симметрия выражения (8.15) вытекает из соотношения
В этом случае ввиду симметрии всех абсорбтивных частей
из (8.10) и (8.13) следует
Рис. 18.
что в свою очередь приводит к равенству 
. Для заряженных пионов соответствующие формулы имеют более сложный вид. Мы приведем без вывода выражения для спектральных функций в этом случае, представив их в виде
где
Абсорбтивные части в подынтегральных выражениях выразим через абсорбтивные части амплитуд с фиксированным значением изотопического спина 
так, чтобы аргумент 
соответствующий полной энергии, всегда имел физическое значение 
, а второй аргумент 
соответствовал передаче импульса. При этом в физической области при 
В таких обозначениях получаем
В свою очередь величины 
выражаются через спектральные функции соотношениями:
Здесь 
— комбинации одномерных спектральных функций 
