20.4. Решение уравнения для парциальной волны и единственность решения.

Метод решения уравнения (20.12) аналогичен методу, применявшемуся при изучении электромагнитного формфактора пиона.

Усложнения связаны с наличием у функции двух разрезов, а также с присутствием постоянной . Как и следует ожидать, общее решение линейного сингулярного уравнения (20.12) равно сумме какого-либо частного решения неоднородного уравнения и общего решения однородного уравнения. Не будем вдаваться в детали решения и остановимся на результате, который имеет вид (Соловьев )

Здесь A — коэффициент при разложении по обратным степеням v, С — любое действительное число. Функция без труда вычисляется с помощью теории вычетов точно так же, как это было сделано при выводе общей формулы (19.10).

Формула (20.15) записана в предположении

Она определяет наиболее общий вид функции, которая обладает следующими свойствами:

а) перекрестной симметрией (симметрична при замене

в) фаза равна

Функция содержит произвольную постоянную С. Постоянная в принципе выражается через известные значения констант взаимодействия с помощью соотношения (20.12). Если воспользоваться теорией возмущений, то из диаграммы рис. 42 получаем Относительно величины С нельзя априори сделать аналогичного утверждения, хотя принцип минимальности электромагнитного взаимодействия и указывает на существование связи между . Решение (20.15) допускает любой вид зависимости от С, лишь бы действительным соответствовали действительные С.

Таким образом, решение дисперсионных уравнений не противоречит принципу минимальности электромагнитного взаимодействия. Для установления конкретного вида функции необходимы дополнительные условия. Их можно сформулировать несколькими способами. Так, например, можно потребовать, чтобы решение неоднородного уравнения (20.12) на бесконечности стремилось к нулю быстрее, чем убывает общее решение однородного уравнения. Иначе, это условие записывается в виде равенства

Рис. 42.

Удовлетворить условию (20.16) не легко. Во всяком случае для этого необходимо, чтобы фаза при больших v имела Простейшая формула Брейта — Вигнера

этому условию не удовлетворяет. Поэтому для фазы (20.17) вместо (20.16) можно потребовать отсутствие члена в разложении общего решения по . В такой формулировке произвол в установлении связи наиболее очевиден.

Второй способ установления вида функции непосредственно следует из (20.14), если для использовать общее решение (20.15). Уравнение (20.14) определит тогда, при заданной фазе , величину Не удивительно, что оба правила вычисления приводят к разным результатам. Прямую экспериментальную проверку (20.15). провести очень трудно. Однако практически осуществима следующая последовательность сравнения (20.15) и (20.14) или (20.16) с результатами опыта.

Во-первых, из эксперимента по тормозному излучению пионов на нуклонах определяется значение С, затем из (20.14) или (20.16) находится . Далее примем, как обычно, существование р-мезона (резонанс в фазе ). Тогда в решении (20.15) можно выделить полюсной член. Положение полюса определяется массой р-мезона. Вычет в полюсе равен произведению констант взаимодействия и . Эти утверждения уже использовались нами (см. § 4). Константы и известным образом связаны с ширинами мезона по отношению к распадам . Величина из -рассеяния. Поэтому далее на основе (20.15) вычисляется ширина которую уже можно сравнивать со значениями, полученными из других источников. После подробного описания хода рассуждений по сравнению (20.15) с опытом приведем результат (Мещеряков и др. ). Было получено, что ширина очень чувствительна к величине отношения . Ни одно из условий (20.14) и (20.16) не определяет его с достаточной точностью. Следовательно, более разумно рассматривать и С как независимые параметры.

Выводы главы можно сформулировать следующим образом: рассмотрение электромагнитной структуры пиона и фоторождения пионов на пионах в рамках дисперсионного подхода дает возможность указать, как нужно вводить параметры в амплитуды этих процессов, если предполагать определенную картину взаимодействия пионов в состоянии с динамического описания в дисперсионном подходе получить не удается.