ГЛАВА 5. ПИОН-НУКЛОННОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ

§ 21. Амплитуда пион-нуклонной вершины

Упругое -рассеяние стоит непосредственно за -взаимодействием в последовательности сильных взаимодействий иерархической лестницы (см. рис. 2). Этот процесс соответствует диаграмме, изображенной на рис. 12. Диаграмма описывает также процесс аннигиляции . Поэтому наряду с -рассеянием нам придется исследовать процесс Рассмотрим сперва структуру амплитуды пион-нуклонного рассеяния.

21.1. Амплитуда пион-нуклонного рассеяния (Голд-бергер, Ватсон (1965)).

О ней говорилось в § 4 при проверке дисперсионных соотношений -рассеяния вперед. При этом использовались экспериментальные данные по полным сечениям и действительной части амплитуды рассеяния под нулевым углом. Однако сейчас имеются детальные экспериментальные данные по угловым распределениям в широком интервале энергий. Интерпретация этих данных основана на анализе изотопической и спиновой структуры амплитуды перехода Т, которая определяется выражением

где — импульсы нуклонов, — импульсы мезонов, — изотопические индексы нуклонов и мезонов, — нормированные спинорные функции нуклонов.

При рассмотрении изотопической структуры амплитуды Т будем пренебрегать слабыми и электромагнитными взаимодействиями (что фактически уже предполагалось при установлении ее аналитических свойств) и, так же как в случае -рассеяния, считать, что Т инвариантна относительно вращений в изотопическомпространстве. Из двух изотопических векторов (изотопический спин мезонов) и (изотопический спин нуклонов) можно построить только две величины, инвариантные относительно вращений в изотопическом пространстве, а именно: и . Тогда для амплитуды Т получаем

Величины являются скалярными функциями в изотопическом пространстве и матрицами в спиновом пространстве. Замечая, что где — единичный антисимметричный тензор, можем представить формулу (21.2) в виде

Инвариантность Т относительно вращений в изотопическом пространстве (изотопическая инвариантность) приводит к тому, что она зависит только от величины полного изотопического спина

Поэтому удобно выразить Т через проекционные операторы на состояния с . Из (21.4) легко видеть, что ими будут

Так как , то ясно, что высшие степени сводятся к матрицам формулы (21.2), которая в операторной форме имеет вид

Величины можно выразить через две амплитуды любых физических процессов. В качестве таковых выберем амплитуды процессов (см. § 4)

Тогда, используя разложение волновых функций систем по состояниям с заданным значением полного изотопического спина (Нишиджима (1965)), легко получить

Амплитуда третьего наблюдаемого процесса имеет вид

Остальные процессы непосредственно не наблюдаемы, хотя их амплитуды также можно выразить через и

Амплитуды зарядово-симметричных процессов могут отличаться от написанных только знаком.

Спиноры , и в формуле (21.1) подчиняются уравнениям

которые необходимо учитывать при анализе спиновой структуры Т.

В нашем распоряжении имеются следующие векторы:

Из них можно составить ряд скалярных произведений, однако с учетом уравнений (21.9а) они сведутся к двум величинам: 1 и 0. Таким образом, каждая из матриц представима в виде

В формулу (21.11) величины входят симметрично. Легко получить, однако, что

Функции и являются обычными скалярными функциями двух независимых переменных, в качестве которых можно выбрать любые из введенных ранее (§ 5) инвариантов:

В с.ц.м. они выражаются через импульс q и угол рассеяния по формулам:

Амплитуда Удовлетворяет условию кроссинг-симметрии:

которое является следствием того, что -мезоны суть бозоны.

Замена эквивалентна перестановке и в л. с. к, для случая рассеяния вперед есть просто . При этом из (21.2) и (21.11) вытекают условия симметрии для функций :

Как уже отмечалось, условия кроссинг-симметрии приобретают четкий смысл лишь после доказательства существования аналитического продолжения амплитуды упругого рассеяния в комплексной плоскости Е (или s). Тогда они отвечают на вопрос о том, какой смысл имеют граничные значения Т на левом разрезе по переменной Е.