§ 10. Схема Чу — Мандельстама

10.1. Вычисление на кроссинг-разрезе. Программа получения системы уравнений для парциальных волн низкоэнергетического пион-пионного рассеяния была впервые реализована Чу и Мандельстамом (1960). Мы изложим сейчас их схему рассуждений на модельном примере рассеяния нейтральных псевдоскалярных бозонов, а затем приведем результат для заряженных пионов.

Используя представление Мандельстама (8.1), запишем прежде всего одномерное спектральное представление амплитуды рассеяния в -канале по отношению к энергетической переменной при фиксированном значении косинуса угла рассеяния (т е. при фиксированном отношении ). Оно имеет вид

Линия фиксированного при изображена на рис. 21 пунктиром.

Первый член в правой части (10.1) соответствует «прямому» знаменателю в (8.1), тогда как остальные соответствуют кроссинг-знаменателям и .

Поэтому первый интеграл в (10.1) соответствует физическому разрезу, проходящему через физическую область -канала (отрезок ) пунктирной прямой на рис. 21), второй интеграл — нефизическому разрезу, начинающемуся от (отрезок ), и третий интеграл — нефизическому разрезу от -канала (отрезок ).

Рис. 21.

При этом второй и третий разрезы проходят через область спектральной функции (отрезки ). К последнему обстоятельству мы еще вернемся.

Из (10.1) следует, что

Из представления Мандельстама следует, что являются абсорбтивными частями амплитуд выраженными в переменных -канала:

Переходя в аргументах к переменным -канала

и в аргументах — к переменным -канала

получаем

причем согласно (10.3) и (10.4)

Интегрируя (10.2) но с весом , получаем

Используя (10.5), (10.6) и переходя в первом интеграле к новой переменной интегрирования а во втором — к находим

Нетрудно убедиться в том, что соответствующие выражения для мнимых частей парциальных волн изотопических амплитуд пион-пионного рассеяния будут иметь вид

где — матрицы кроссинг-симметрии для парциальных амплитуд, введенные выше (см. ).

Формулы (10.7), (10.8) представляют собой точные выражения для мнимых частей парциальных амплитуд на кроссинг-разрезах. При их выводе не было сделано никаких приближений. Из этих формул следует, что входящие под интегралы мнимые части амплитуд зависят от физических значений квадратов импульсов кроссинг-каналов Однако соответствующие косинусы лежат в нефизических областях Таким образом, величины (10.5) представляют собой аналитические продолжения мнимых частей амплитуд из -канала и из -канала в области и соответственно. Поскольку в области лежит спектральная функция то указанные продолжения представляют собой абсорбтивные части, принимающие комплексные значения. В интегралах (10.7) эти комплексные значения возникают для