11.2. Уравнения для s- и d-волн нейтральной модели.

В самом простом варианте нейтральной модели, когда мы учитываем только s-волну

получается следующее уравнение:

отражающее, очевидно, свойство кроссинг-симметрии амплитуды рассеяния вперед:

В следующем приближении, учитывающем -волну,

имеем

Мы не используем здесь ввиду очевидной симметрии задачи относительно . Поэтому нам достаточно рассмотреть окрестность точки . В этой окрестности второй интеграл в спектральном представлении (10.1) представляет собой высокоэнергетический вклад, который мы отбросим, имея в виду, что он может дать лишь члены, полиномиальные по v, с коэффициентами, имеющими высокоэнергетическое происхождение. Такие члены во всяком случае могут быть представлены входящим в (9.5) полиномом. Итак, представляя (10.1) в виде

где согласно (10.7)

с учетом того, что , имеем

Комбинируя эти выражения с формулами (11.5) — (11.6), приходим к системе уравнений для

Мы получили как уравнения самого простого приближения (11.3) (только -волна), так и уравнения следующего приближения и -волны). Рассмотрим основные свойства этих уравнений и сравним их между собой.

Нетрудно убедиться в том, что уравнение для -волны (11.3) допускает падающую логарифмическую асимптотику:

(см. также аналитическое решение этого уравнения в § 11.3). Поэтому уравнение для -волны, записанное без вычитания в форме (11.3), имеет смысл. Из (11.3) следует также, что является положительной вне разрезов (при Поэтому положительными оказываются как длина рассеяния

так и «перенормированная константа связи», которую удобно определить следующим образом:

Ясно, что в -волновом приближении

Обратимся к системе (11.8). Из уравнения (11.86) видно, что асимптотика определяется кроссинг-интегралом, содержащим и имеет вид

Вследствие этого член, содержащий в кроссинг-интеграле (11.8), при больших v ведет себя как и не меняет асимптотики Из (11.8) видно также, что свойства (11.10), (11.12) при этом не нарушаются.

Обратимся к пороговому поведению -волны. На пороге при v 0 функция должна обращаться в нуль, как Уравнение (11.86) дает обращение в нуль, как v. Поэтому для обеспечения порогового поведения необходимо удовлетворить еще одному соотношению:

Это соотношение представляет собой своеобразное «правило сумм», характерное для низкознергетических схем ДП, учитывающих высшие волны.

Таким образом, мы убедились, что программа, основанная на ДП: 1) приводит к уравнениям для низших волн с убывающими асимптотиками; 2) дает возможность последовательного учета высших волн, который не меняет основные свойства первого приближения, причем в асимптотической и пороговой областях вклады от -волн являются малыми поправками к членам, содержащим -волну.

Прежде чем исследовать реальный случай рассеяния заряженных пионов, рассмотрим более подробно уравнение (11.3), которое может быть решено методом Кастильехо—Далитца—Дайсона (1953) — методом КДД.