10.4. Некоторые свойства уравнений.

Эта система была исследована качественно и затем решена численно (Чу, Мандельстам и Нойес (1960)) на электронной вычислительной машине. Численные решения обладают следующими общими свойствами. Они зависят от одного параметра и существуют для интервала значений

При этом верхняя граница Хтах связана с отсутствием реального связанного состояния в канале Такое связанное состояние появляется при . При решения, строго говоря, не существует, точнее, на кроссинг-разрезе появляется «духовый полюс», противоречащий унитарности. Однако при X он лежит в высокоэнергетической части кроссинг-интеграла, Чу и Мандельстам полагали, что к решению в области вследствие характера уже обсужденных приближений, нельзя относиться серьезно.

Во всех численных решениях -волны не малы; особенно велика волна Эти решения получили название «s-доминантных». Длины рассеяния -волн приближенно описываются формулами

Характерные графики котангенсов -фаз приведены на рис. 23. Ни в одной из парциальных волн не появляется резонанс. Волна всегда мала (порядка ). Эта черта решений является наиболее существенной.

Рис. 23.

Она приводит к невозможности получения р-мезона в рамках описанной схемы. Таким образом, можно сказать, что уравнения Чу — Мандельстама не удовлетворительны с физической точки зрения.

Как показал Лавлес (1962), трудность с -волной в уравнениях Чу — Мандельстама имеет более глубокий характер. Итоги этого анализа могут быть резюмированы следующим образом. Уравнения Чу — Мандельстама не обладают решениями, кроме, может быть, случая, когда тождественно равна нулю, т. е., во всяком случае, не обладают решениями, содержащими -мезон и представляющими физический интерес. В свете этого строгого результата Лавлеса крайне любопытным оказывается положение с численными результатами решения на машине. Эти результаты не являются решениями в строгом смысле слова, они носят асимптотический характер.

Если неограниченно увеличивать точность численного счета, то после достаточно большого числа итераций в области высоких энергий накопится «возмущение», которое разрушит, казалось бы, уже установившееся решение в области низких энергий. Другими словами, итерации на вычислительной машине эквивалентны построению ряда по степеням X, имеющего асимптотическую природу.

Эта ситуация имеет также эвристическую ценность. Прежде чем пускать в ход машину, необходимо провести тщательный качественный анализ задачи. В противном случае машина может «обмануть» и выдать решение, которого в общем-то и не существует.

Неудачи с получением феномена р-мезона побудили многих авторов к различным модификациям уравнений Чу — Мандельстама. Эти модификации в основном сводились к замене кроссинг-интегралов в уравнениях (10.19) рядом высокоэнергетических полюсов, положения и вычеты которых подбирались из дополнительных соображений. Такие операции, очевидно, находятся в противоречии с исходными низкоэнергетическими концепциями. Кроме того, как было показано в § 10.2, существенные ошибки в описанной процедуре начинают накапливаться уже в низкоэнергетической части кроссинг-интегралов при Поэтому мы обратимся сейчас к другому способу получения уравнений для парциальных волн низкоэнергетического рассеяния, свободному от недостатков подобного рода.