§ 25. Способ получения уравнений для парциальных волн

25.1. Выбор переменных и функций для аналитического продолжения.

Приведенные выше примеры применения представления Мандельстама к -рассеянию показывают, что выбор переменных для изучения аналитических свойств амплитуды рассеяния может быть сделан различными способами. Ниже в качестве таковых используются квадрат импульса и косинус угла рассеяния в системе центра масс . Рассмотрим аналитические свойства функций по переменной v при фиксированном значении z из физической области — (Ефремов и др. ).

Для дальнейшего удобно учесть свойства симметрии функций по отношению к перестановке , т. е. кроссинг-симметрию будем рассматривать функции

каждая из которых симметрична при замене , т. е.

Воспользовавшись формулами (21.13) и представлением Мандельстама (23.1), можно установить, что функции обладают следующими особенностями:

1) разрезом от первого канала,

2) разрезом от второго канала, где

3) разрезом — от третьего канала,

4) кинематическим разрезом — . Кроме того, функции р, будут обладать полюсами от полюсных членов представления Мандельстама, которые полностью известны. Кинематический разрез возникает из-за разности масс мезона и нуклона М. При переходе к плоскости s он превращается в окружность (см. рис. 49). От кинематического разреза можно избавиться, если выделить явно зависимость от в каждой из функций т. е.

Запишем явно для каждой функции зависимость от ; тогда для имеем

Функции кинематического разреза не содержат. Однако их определение является формальным, поскольку неясен смысл выражения . Заметим, что замена может быть интерпретирована как изменение знака четвертой компоненты мезонного импульса, т. е. (см. ). Поэтому функции выражаются через значения амплитуды рассеяния в перекрестном (втором) канале. Для этого перепишем аргументы функций в виде

Справедливо следующее утверждение. Если точка лежит в физической области реакции I, то точка s, u, t расположена в физической области реакции II. Связь между переменными этих реакций определяется формулами

Геометрическая интерпретация формул (25.3) изложена в Приложении 4. Аналитические свойства амплитуд по переменной v при фиксированном значении z также следуют из представления Мандельстама:

1) разрез от канала II,

2) разрез от канала II для

3) разрез от канала

4) кинематический разрез — Кроме того, функции р, Вимеют полюсы. Графический способ получения соотношений (1) — (3) см. в Приложении 5.

Функции обладают, очевидно, всеми особенностями функций , за исключением кинематических разрезов (рис. 50). Из рисунка видно, что для рассеяния вперед начало разреза от третьего канала (процесс ) уходит на .

Рис. 50.

Поэтому вклад этого разреза в д. с. для рассеяния вперед равен нулю или входит в константу вычитания. Физическая точка перекрестного процесса с координатами также соответствует рассеянию вперед, что следует из формул (25.3). Д. с. для рассеяния вперед по переменной v совпадают с хорошо известными д. с. по переменной Е — энергии в (Боголюбов, Медведев, Поливанов ). Соответствие областей интегрирования показано в табл. 4.

Рассеяние назад обладает интересной особенностью. В этом случае на уходит разрез от перекрестной реакции (канал II), а разрез от канала III максимально приблиясается к физическому разрезу .

Таблица 4

Отсутствие вклада канала II для рассеяния назад является характерной особенностью переменной V. Если вместо переменной v использовать переменную s, то для рассеяния назад наряду с разрезом от канала III будет присутствовать разрез и от канала II.