25.4. Дисперсионные соотношения для рассеяния назад.

Дисперсионные соотношения для рассеяния назад получаются из формулы (25.4) при Необходимо учесть, что переменные перекрестной реакции s, u, t совпадают с таковыми для прямой реакции (21.13), т. е. Воспользовавшись этим, из (25.4) легко получить

В интеграле по отрицательным v заключена вся информация о влиянии -взаимодействия на ассеяние. Для ее получения необходимо выразить функцию через парциальные волны процесса . Заметим, что из формул (21.13) и (21.25) следуют равенства

Поэтому интервал является нефизическим по энергии для процесса На нем можно пользоваться разложением (21.29) амплитуды на парциальные волны, но условие унитарности (21.30), строго говоря, несправедливо. Однако было показано, что условие унитарности продолжается на интервал (см. Приложение 2) (Мандельстам ). Тогда справедливы и его следствия — формулы (21.31). Из них легко заключить, что каждая парциальная волна имеет вид

где — действительные функции, — фазы -рассеяния. Соотношения (25.8) верны в интервале Действительно, этот интервал соответствует значениям Верхний предел — порог неупругих процессов -рассеяния, начиная с которого фазы комплексны и формула (25.8) неверна. При анализе -рассеяния предполагалось, что фазы действительны для Поэтому будем считать, что парциальные волны процесса имеют форму (25.8) для всех импульсов Поскольку в д. с. (25.6) наиболее важными являются ближайшие особенности, т. е. небольшие значения t, то можно сделать следующее приближение:

Тогда соответствующие функции будут чисто действительными, а функции на разрезе примут вид

где — неизвестные действительные функции. Величина имеет четкий смысл суммы всех высших парциальных волн. Ее можно приближенно оценить, предположив, что высшие парциальные волны определяются полюсными членами амплитуды рассеяния (Окунь, Померанчук ). Такие предположения применялись при фазовом анализе для учета высших фаз -рассеяния. Формально это приводит к тому, что в ряды по парциальным волнам раскладываются функции без полюсных членов. Полюсные члены дают вклад и в первые парциальные волны Чтобы учесть это, необходимо из функций вычитать полюсные члены без первых гармоник .

Воспользовавшись таким приемом, получаем из формул (21.28) и (21.29) следующие выражения для функций

где

—полюсные члены , а — неизвестные действительные функции.

Формулы (25.10) справедливы на нижнем берегу разреза ибо амплитуда процесса определяется как На верхнем берегу разреза они сохраняют свой вид с тем отличием, что знаки перед фазами изменяются на обратные. Это легко понять, вспомнив, что точка является для парциальных амплитуд -рассеяния точкой ветвления первого порядка.

Из формул (25.10) следует, что -взаимодействие не влияет на функцию , так как в силу предположения о фазах -рассеяния . Функции а имеют одинаковую структуру: величина в формуле (25.9) известна. Функция соответствующая содержит неизвестный действительный вклад . От него легко избавиться, если вместо рассматривать — которая на разрезе имеет ту же структуру, что и функции . Учет -взаимодействия для функций может быть произведен одним и тем же способом.