ГЛАВА 1. ДИСПЕРСИОННЫЙ МЕТОД В КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ

§ 1. Введение

В настоящее время известно более двухсот различных частиц и резонансных состояний. Накоплено огромное количество экспериментальной информации относительно процессов взаимодействий и взаимных превращений этих частиц и резонансов. Все многообразие наблюдаемых явлений находится в соответствии с рядом основных принципов:

а) сохранения электрического заряда Q, б) сохранения барионного заряда В, в) сохранения лептонного заряда, г) инвариантности относительно неоднородной группы Лоренца

Следствиями лоренцевской инвариантности являются законы сохранения импульса, энергии, полного момента, а также СРУ-теорема, т. е. инвариантность относительно произведения трех преобразований: С — преобразования зарядового сопряжения, Р — преобразования отражения пространственных осей координат (пространственная четность), Т — преобразования отражения оси времени (временная четность).

Из этого многообразия можно выделить более узкий круг явлений — процессы сильного взаимодействия. Для этих процессов характерным является ядерное время порядка сек. Эффекты, связанные с электромагнитными и слабыми взаимодействиями, в этих процессах оказываются, как правило, пренебрежимо малыми.

Процессы сильного взаимодействия инвариантны относительно более широкого класса преобразований:

относительно и -преобразований по отдельности. Они инвариантны относительно группы вращений в зарядовом или изотопическом пространстве (группа изоспина). Кроме того, для них имеется еще одно сохраняющееся квантовое число — странность S, которое связано с Q, В и третьей проекцией изоспина соотношением

Вместо странности S вводят также гиперзаряд У:

Комбинирование зарядового сопряжения С с изотопической инвариантностью (точнее, с операцией вращения на 180° относительно оси ) приводит еще к одному преобразованию — -сопряжению Его важность определяется тем, что состояния содержащие пионов, являются собственными функциями -преобразования с собственным значением

Это свойство, в частности, запрещает переходы между состояниями с четным и нечетным числом пионов.

Перечисленные квантовые числа определяют правила отбора в процессах сильных взаимодействий. Инвариантности относительно изотопических преобразований приводят также к простым соотношениям симметрии между матричными элементами различных процессов (см., например, (7.30), ). Такие соотношения, однако, не устанавливают связей между матричными элементами с различными значениями кинематических переменных (энергий и импульсов частиц), т. е. не дают динамических связей.

Возможность количественного динамического описания в классической физике и в квантовой механике обычно основывается на динамическом принципе и уравнениях движения. Такого регулярного метода получения количественных результатов в теории сильно взаимодействующих частиц в настоящее время не существует.

Основной теоретический метод физики элементарных взаимодействий — метод квантованных полей — дает хорошее количественное описание лишь для довольно узкого круга явлений, в которых физически существенными являются электродинамические взаимодействия. Это в первуюочередь процессы, затрагивающие электроны, позитроны и электромагнитное поле. Они описываются разложениями теории возмущений по степеням малого параметра — постоянной тонкой структуры а, представляющей собой квадрат константы электродинамического взаимодействия, (здесь и далее используются атомные единицы, в которых ).

Теория возмущений в квантовой электродинамике — фактически единственный раздел теории элементарных частиц, который может называться «теорией» в добром старом смысле этого слова, т. е. содержит небольшое число исходных положений, которые путем регулярной процедуры позволяют получать количественное описание всех электродинамических явлений с любой желаемой степенью точности. В сильных (ядерных) взаимодействиях теория возмущений не дает даже качественного согласия с опытом, поскольку константы связи сильного взаимодействия не являются малыми.

В теории сильных взаимодействий существует ряд приближенных схем, позволяющих в отдельных случаях проводить количественные расчеты. Наиболее разработанной среди них является схема, основанная на методе дисперсионных соотношений (далее обозначается: д. с.) и использующая ряд специфических приближений для так называемой области низких энергий, т. е. энергий порядка масс покоя рассматриваемых частиц. Эта область является физически выделенной, поскольку при взаимодействиях частиц процессы с рождением дополнительных частиц здесь либо отсутствуют, либо играют малую роль, так что ими можно пренебрегать.

Лежащий в основе этой схемы метод представляет собой математическую формулировку ряда довольно общих свойств взаимодействий частиц, среди которых главную роль играет условие причинности. Следствия этих положений формулируются на языке аналитических свойств амплитуды рассеяния, аналитически продолженной в комплексную плоскость переменной энергии Е.

Связь между причинностью в пространстве — времени и свойством аналитичности в комплексной плоскости Е, естественно, не является спецификой квантовой теории поля и даже квантовой теории. Д. с. могут быть получены для широкого круга физических процессов, начиная с классической электродинамики (см. по этому поводу § 2). Они устанавливают определенные интегральные связи между наблюдаемыми характеристиками процессов, не зависящие от деталей взаимодействия.

Мы начинаем с изложения обычной квантовомеханической задачи потенциального рассеяния на языке метода д. с. (§ 2). Такой порядок изложения позволяет естественно перейти затем к постановке задачи в квантовой теории поля (§ 3).

Важной особенностью квантовой теории поля является свойство кроссинг-симметрии (перекрестной симметрии). Оно основано на том обстоятельстве, что в аппарате квантовой теории поля амплитуды трех различных процессов:

(здесь С обозначает античастицу по отношению к С) описываются одной и той же функцией Грина изображенной на рис. 1, т. е. одним и тем же набором диаграмм Фейнмана. Все три матричных элемента представляют собой различные «граничные» значения одной и той же функции

Рис. 1.

В тех случаях, когда среди этих трех процессов имеются физически одинаковые процессы, функция G обладает определенной симметрией по своим аргументам. Это свойство и называется перекрестной симметрией.

Задание аналитических свойств функции G по соответствующим кинематическим переменным позволяет связать эти различные «граничные» значения с помощью аналитического продолжения.

Поэтому изучение аналитических свойств функции Грина является необходимым для формулирования свойств кроссинг-симметрии для процессов рассеяния.

Изучение аналитических свойств даже по отношению к одной переменной является математически весьма сложной задачей и не входит поэтому в наше изложение. В § 4 мы выписываем д. с. для наиболее хорошо изученного экспериментально процесса пион-нуклонного взаимодействия и приводим сравнение их с экспериментом. Это сравнение позволяет сделать вывод о правильности всех основных положений, используемых при строгом выводе д. с. Таким образом, использование метода д. с. в сильных взаимодействиях может считаться экспериментально апробированным.

Для получения системы уравнений необходимо дополнить д. с. некоторыми вспомогательными соотношениями (§ 5). Здесь мы вступаем в область приближений. Среди них весьма важным является приближение двухчастичной унитарности, а также двойное спектральное представление Мандельстама. Это представление принимается в дальнейшем в качестве одного из основных положений так называемой аксиоматической теории рассеяния (§ 6).

Комбинирование условия двухчастичной унитарности с представлением Мандельстама приводит к спектральному условию унитарности (§ 8.2), представляющему собой важный инструмент исследования аналитической структуры матрицы рассеяния.

Добавляя еще предположение о возможности удовлетворительного описания амплитуды рассеяния в области низких энергий малым числом парциальных волн, мы получаем возможность записать для последних систему уравнений. Эти уравнения оказываются нелинейными сингулярными интегральными уравнениями, связывающими парциальные волны рассматриваемого процесса рассеяния, а также, как правило, парциальные волны некоторых других процессов.

Исключение представляет система уравнений для парциальных волн пион-пионного рассеяния. Эта система оказывается замкнутой, т. е. не включает парциальных волн других процессов. В то же время, например, система уравнений для пион-нуклонного рассеяния включает в себя парциальные амплитуды -рассеяния.

Система «зависимости» одних процессов от других иллюстрируется иерархической схемой, изображенной на рис. 2 и основанной на условии двухчастичной унитарности (§ 5). На этом рисунке процессы (точнее, соответствующие им функции Грина)

Рис. 2.

расположены на различных уровнях (этажах). Стрелки указывают на взаимную зависимость процессов. Так, например, в систему уравнений для узла входят амплитуды узла яяяя; для рассмотрения процесса фоторождения пиона на нуклоне (узел ) необходимо предварительно изучить узлы и уплк и т. д. Во главе «иерархического древа» стоит узел яяяя, с которого и должно начинаться изучение процессов сильного взаимодействия.

Таким образом, «дисперсионная теория сильных взаимодействий при низких энергиях» основана на следующих положениях: а) аналитичность, б) двухчастичная унитарность, в) кроссинг-симметрия, г) ограничение малым числом парциальных волн.

Строго говоря, эти четыре положения исключают друг друга, т. е. находятся во взаимном противоречии. Поэтому ими следует пользоваться не буквально, а приближенно (см. подробнее §§ 8, 9). Неудачный выбор приближений может привести к математически противоречивым уравнениям, например, к уравнениям Чу — Мандельстама для -рассеяния (§ 10).

Мы используем схему дифференциального приближения (§ 11), в которой, в отличие от схемы Чу — Мандельстама, свойство кроссинг-симметрии для мнимой части используется приближенно. Эта схема (ДП) приводит к математически непротиворечивым уравнениям для низкоэнергетического рассеяния. В главах 3, 4, 5 методом ДП рассмотрены последовательно процессы а также электромагнитные формфакторы пиона и нуклона. При этом оказывается, что решения соответствующих систем уравнений зависят от большого числа параметров, что естественным образом связано с математической природой уравнений, которые могут быть сформулированы на языке краевых задач теории функций комплексного переменного с нелинейными граничными условиями. Физически это соответствует тому, что в уравнениях дисперсионного типа нет способа каким-либо образом полностью фиксировать динамику сильного взаимодействия, что хорошо иллюстрируется в нерелятивистском случае моделью Дайсона (§ 12).

Таким образом, практически мы получаем феноменологическое описание процессов рассеяния при низких энергиях. Поскольку при движении по «иерархическому древу» количество произвольных параметров увеличивается, мы доводим наше исследование до «уровня второго этом уровне еще удается провести разумное исследование процесса хорошо изучен экспериментально. Однако уже рассмотрение узла уяяя не приводит к каким-либо надежным результатам. По этой же причине, видимо, пока преждевременно обращаться к процессам «третьего этажа».

Подчеркнем, что подобные схемы учитывают лишь длинноволновую (периферическую) часть взаимодействия. Учет коротковолновой части может изменить положение.