16.2. N/D-метод.

Представим функции в виде (ср. § 2.4)

где

и, очевидно, обладает только правым разрезом. Мы предполагаем, что фазы при стремятся к конечному пределу, т. е. что парциальные волны имеют конечное число нулей и резонансов. Асимптотическое поведение фаз определяет ветвь интересующих нас решений. Например, если рассматривать решения с резонансами в парциальных волнах то

Нетрудно убедиться в том, что в этом случае на бесконечности растут как z, а при больших z меньше, чем где — произвольное малое положительное число. Функции в плоскости z не имеют ни нулей, ни полюсов (за исключением бесконечно удаленной точки). Можно, однако, рассматривать и другое разбиение на числитель и знаменатель:

где

и

а — полиномы степеней по z с действительными коэффициентами. Очевидно, что в этом случае функции могут иметь и нули и полюсы. Докажем, что функции не обладают правым разрезом.

Для этого согласно упругому условию унитарности (13.5) при представим в виде

Из (16.8) следует, что

Тогда

Из (16.10) видно, что функция при действительна. Но из свойств амплитуды следует, что .

Поэтому, если бы функция имела правый разрез, то при она была бы комплексной (удвоенная мнимая часть ее равнялась бы скачку на правом разрезе). Отсюда следует, что функция не имеет правого разреза. Совершенно ясно, что функция обладает тем же свойством, так как она отличается от только отношением полиномов с действительными коэффициентами. Используя условия унитарности и действительности при можно написать

Для того чтобы построить функцию по , нужно знать, какое количество вычитаний необходимо сделать и какой степени полином следует добавить. При этом решающую роль играет гипотеза о поведении фазы на бесконечности. Для «двухрезонансной» ветви (резонансы в волнах )

1). Пороговое условие для -волны дает

Для волны аналогичное представление удобно писать для функций

Подставляя (16.13) в (16.12) и (16.17) в (16.16), получим для функций

систему уравнений Фредгольма

Здесь

Коэффициенты фиксируются условиями сохранения положения резонансов в

Коэффициент можно зафиксировать из асимптотического условия в (13.10). Постоянные определяются из (13.8) при

Решение задачи на ЭВМ носит итерационный характер. Сначала задаются функции (z), например, из дельтаобразного приближения при фиксированном к. Затем решается система (16.18). Из полученных решений строится ядро для следующей итерации, и так до тех пор, пока построенная после итерации функция не окажется достаточно близкой к функции полученной после итерации. Аналогично можно получить уравнения Фредгольма для случая, когда волна ) имеет резонанс. Так как мы знаем, что в этом случае нужно фиксировать и (нуль в волне ), то удобно в функцию ввести полюс . Тогда функция не будет иметь нуля в точке Коэффициент естественно фиксируется требованием сохранения положения резонанса

Заметим, что «N/D-методом» можно свести задачу к уравнениям Фредгольма и в том случае, когда в каждой волне явно задана неупругость, т. е. заданы функции

Функцию при этом следует определитть в виде

Тогда функции имеют не только левый, но и правый разрез, начинающийся с порога неупругого процесса. Конечные уравнения типа (16.18) имеют тот же фредгольмовский вид, только их ядра сложнее и явно зависят от функций .