5.2. Условие унитарности.

Запишем условие унитарности для

в общем случае рассеяния на ненулевой угол.

Поскольку нас сейчас не будут интересовать точные формулы, приведем лишь схему выкладок (аккуратные вычисления для и -рассеяния содержатся в §§ 7, 21).

Условие унитарности имеет вид (3.9). При этом в силу закона сохранения энергии условие или при любом фиксированном значении энергии обрезает сумму (3.9) на конечном числе членов. Разумеется, остальные законы сохранения также приводят к соответствующим правилам отбора промежуточных состояний.

Рис. 14.

Возьмем, например, случай, когда состояния а и содержат по два пиона каждое, т. е. когда является амплитудой пион-пионного рассеяния. Еслиограничиться интервалом полной энергии

то в сумме (3.9) останутся вклады от двухпионных состояний. Действительно, в силу -четности матричные элементы перехода (2 пиона) -> (3 пиона) равны нулю, а 4 пиона при столь малых энергиях образоваться еще не могут. Таким образом, в этом интервале мнимая часть амплитуды пион-пионного рассеяния выражается через сумму (точнее, интеграл) от произведения двух пион-пионных амплитуд.

Ниже порога двухчастичного состояния, при s 4, получаем

В интервале к двухчастичному вкладу в (3.9) добавляется четырехчастичное слагаемое, и т. д.

Формуле (3.9) обычно сопоставляют графические схемы. В данном случае эта схема имеет вид, изображенный на рис. 14.

Из изложенного ясно, что нижние пределы интегрирования в (5.4) определяются началом непрерывного спектра, связанного с двухчастичными состояниями.

Поэтому при в д. с. (5.4), так же как и в квантовой механике, появляются подпороговые нефизические области. Мнимые части здесь определяются аналитическим продолжением по t двухчастичного условия унитарности. Ввиду симметрии относительно перестановок всех четырех пионов те же свойства верны для — мнимых частей амплитуды в каналах II и III.

Рис. 15.

Рис. 16.

Важным для нас случаем, в котором эта симметрия отсутствует, является -узел. Здесь — мнимые части в каналах I и II, т. е. мнимые части амплитуд пион-нуклонного рассеяния. Низшим массовым состоянием является однонуклонное. Пороги интегрирования определяются двухчастичным вкладом в пион-нуклонную унитарность от состояния, содержащего один пион и один нуклон, т. е. лежат на прямых (рис. 15).

Однако ситуация с соответствующей аннигиляционному каналу , несколько отличается от первых двух случаев. В этом случае физический порог реакции соответствует Между тем низшим промежуточным состоянием будет двухпионное, нижняя граница которого (рис. 16). Вся область является нефизической.

Амплитуда процесса в этой области должна рассматриваться как аналитическое продолжение соответствующего выражения из физической области процесса при