§ 5. Двойное спектральное представление в квантовой теории поля

Выше мы показали, как задача рассеяния в квантовой механике может быть переформулирована в терминах аналитических свойств и унитарности. Двойное спектральное представление (2.29) описывает аналитические свойства амплитуды рассеяния одновременно по двум комплексным аргументам. Это двойное представление совместно с условием спектральной унитарности (2.31) дает способ последовательного определения амплитуды рассеяния полностью эквивалентный решению уравнения Шредингера.

В квантовой теории поля сильных взаимодействий мы имеем одномерные д. с., доказанная область применимости которых не покрывает целиком физической области. Эти д. с. для рассеяния с передачей импульса, отличной от нуля, содержат также интегралы по подпороговой ненаблюдаемой области. Поэтому условия унитарности и одномерные д. с. по энергии в принципе недостаточны для получения системы уравнений для амплитуды рассеяния. Недостающим элементом являются аналитические свойства амплитуды рассеяния по передаче импульса. Напомним, что и в квантовой механике именно учет аналитических свойств по передаче импульса привел к двойному спектральному представлению и к окончательной формулировке задачи.

5.1. Кроссинг-симметрия.

В квантовой теории поля одновременное изучение аналитических свойств по энергии при фиксированной передаче импульса и по передаче импульса при фиксированной энергии является совершенно естественным с точки зрения свойств кроссинг-симметрии. Здесь мы подошли к понятию кроссинг-симметрии несколько более широкому, чем то, которое использовалось выше в д. с. для рассеяния вперед.

Мы обсудим сейчас более подробно это чрезвычайно важное понятие, обратившись в целях наглядности к диаграммам Фейнмана.

Рис. 11.

Рассмотрим четырехконцевую функцию Грина, т. е. совокупность диаграмм Фейнмана с четырьмя внешними линиями (рис. 11). Известно, что при помощи функции Грина можно описывать три процесса рассеяния (если массы частиц таковы, что ни одна из этих частиц не распадается на три другие).

Пусть лежат на массовой поверхности

Процессы I, II, III называются соответствующими каналами задачи рассеяния.

Рис. 12.

Рассмотрим, например, функцию Грина с двумя пионными и двумя нуклонными концами на массовой поверхности (рис. 12). Такая функция Грина описывает процессы рассеяния . Здесь черта над символом частицы обозначает античастицу; например, . Каждая нуклонная линия на диаграмме рис. 12 описывает либо нуклон, движущийся по направлению фермионной линии, либо антинуклон, движущийся против направления этой линии. Поэтому та же функция Грина характеризует ипроцесся . Таким образом, она одновременно описывает три процесса:

Введем три инвариантные переменные

которые соответствуют квадратам полных энергий в с. ц. м. для процессов I—III. Они связаны соотношением

Физическая область изменения переменных s, u, t соответствует действительным значениям импульсов и углов рассеяния частиц. Для процессов они изображены на рис. 13, 18, 46.

В силу лоренцевской инвариантности рассматриваемая функция Грина выражается через скалярные функции переменных s, и, t. Если какие-либо каналы из (5.1) физически совпадают, как, например, I, II для -узла, то при соответствующих заменах аргументов эти скалярные функции переходят друг в друга. Это свойство и называется кроссинг-симметрией.

Если же эти каналы физически не совпадают, то при такой замене аргументов мы не получаем каких-либо свойств симметрии. Однако и в этом случае различные процессы описываются одной и той же функцией Грина, рассматриваемой в различных областях изменения аргументов. При этом говорят, что переход от одной реакции к другой осуществляется с помощью правила подстановки.

Отсюда ясно, что при таком одновременном описании нескольких процессов одной функцией Грина аргументы s, u, t выступают совершенно равноправно. Поэтому одновременное изучение аналитических свойств по всем трем переменным s, и, t здесь совершенно естественно. Как уже говорилось, каждая из этих трех переменных является квадратом энергетической переменной для одной из трех реакций. Дисперсионные соотношения по энергии первой реакции при фиксированной передаче импульса суть д. с. по s при . Д. с. по передаче импульса при фиксированной энергии первой реакции суть д. с. по t при , т. е. д. с. по энергии для процесса III при фиксированной передаче импульса.

С учетом связи (5.3) между s, u, t можно также рассматривать первые д. с. как д. с. по и при t = const, а вторые — как д. с. по и при , т. е. д. с. по энергии II канала. Отражение этого факта мы уже фактически наблюдали в д. с. для рассеяния вперед (3.1). Там замена Е на —Е (что эквивалентно замене s на u), т. е. переход от энергии I канала к энергии II канала, переводит д. с. (при ) сами в себя. В квантовой теории поля равноправно выступает также третье д. с. по t (или по s) при .

Рис. 13.

Все эти свойства удобно изобразить на графике с помощью симметричной косоугольной системы координат, в которой углы между осями s, u, t равны 120°. Такой график для случая равных друг другу внешних масс изображен на рис. 13. В этом случае физическая область реакции I определяется соотношениями ; реакции II — соотношениями ; а реакции III — соотношениями .

Это немедленно вытекает, например, из представления переменных реакции I через импульс и косинус угла рассеяния

На рис. 13 физические области заштрихованы. Линии, по которым производится интегрирование в упомянутых выше д. с., обозначены пунктиром. Из рис. 13 видно, что каждая линия интегрирования захватывает две физические области. Например, дисперсионное соотношение при фиксированном имеет вид

Здесь — мнимая часть амплитуды по s, которая определяется условием унитарности в I канале; — мнимая часть амплитуды по u, которая определяется условием унитарности в III канале.

Сам факт существования таких д. с. является гипотезой, которая весьма естественна, но, к сожалению, еще строго не доказана, например, для таких важных реакций, как

Пределы интегрирования в (5.4) зависят от , а также от . Физический смысл констант легко может быть понят с помощью условия унитарности. Заметим для этого, что числитель интеграла представляет собой мнимую часть амплитуды рассеяния в канале, в котором s является полной энергией в с. ц. м.