22.4. Основные свойства решения.

Переформулируем задачу (22.7) в терминах комплексной переменной z и путем анализа свойств функции установим основные черты решения, содержащего резонанс в состоянии (3,3).

Рис. 44.

Уравнения (22.7) определяют функции в комплексной плоскости z, имеющие следующие свойства: — аналитические функции в комплексной плоскости z с разрезами имеет в нуле полюс первого порядка с вычетом .

Применяя теорему Коши к функции по контуру С (рис. 44), можно показать, что свойства (а) — (е) функций эквивалентны исходным уравнениям (22.7). Удобство такой формулировки состоит в том, что для ряда случаев удается построить функции, удовлетворяющие этим свойствам, т. е. исходным уравнениям.

Возникающие при этом решения неоднозначны. Причина неоднозначности кроется в том, что в указанных свойствах не конкретизируется вид взаимодействия. Различные виды взаимодействия приводят к одним и тем же свойствам (а) — (е) или уравнениям вида (22.7).

Мы не будем подробно обсуждать характер этой неоднозначности, а попытаемся на основе уравнений (22.7) получить грубое представление о характере фаз рассеяния. Для этого вместо функций введем функции такие, что

Условия (а) — (е) легко перенести на функции Остановимся подробнее на свойствах Для функции можно явно вычислить мнимую часть при . Действительно,

Условие кроссинг-симметрии для функций выглядит так:

где . Так как в уравнение , то для вычисления (где ) нужно знать не только , но и Из определения функций (22.8) и условия унитарности (д) видно, что явное выражение для найти не удастся. Поэтому, используя теорему Коши для функций по контуру С (рис. 44), получаем

Здесь — неизвестные функции, подобранные так, чтобы выполнялось условие кроссинг-симметрии (22.10) для функций Вид функций на интересующем нас физическом разрезе легко установить:

Теперь из уравнений (22.11) и (22.12) следует

Хотя в формуле (22.13) и содержатся неизвестные функции эти соотношения весьма полезны. Если положить то первый интеграл в (22.11) и (22.13) расходится линейно. Это значит, что он в основном определяется значением и в области будет слабо меняющейся функцией. В силу условия кроссинг-симметрии интеграл от неизвестной функции также будет определяться значением сотах. Таким образом, окончательно получаем

Формулы (22.14) обычно называют «приближением эффективного радиуса», но аналогии с теорией эффективного радиуса в квантовой механике (§ 2.4). Однако следует заметить, что строго говоря, являются функциями и могут быть разложены в ряды по только при т. е. в нефизической области. Поэтому дальнейшее уточнение выражений (22.14) не сводится к простому учету следующих членов разложения по Грубое представление о величинах можно получить, пренебрегая мнимыми частями . Разлагая интегралы в уравнениях (22.7) в ряды по степеням , имеем для :

В силу положительности величин можно определенно сказать, что . Это означает, что при энергии фаза проходит через , т. е. в канале (3,3) имеется резонанс. Если на основании этого факта в (22.15) отбросить все парциальные амплитуды, кроме третьей, то отрицательны.

Таким образом, рассмотрение -рассеяния в рамках статического приближения указывает на наличие резонанса в состоянии с .

Остальные фазы должны быть малы и отрицательны. Заключение о малых фазах, конечно, не надежно, поскольку отброшенные при выводе уравнений величины могут оказаться того же порядка, что и найденные значения фаз.

Рис. 45.

Что же касается парциальной волны , то она прекрасно согласуется с экспериментальными данными в широком интервале энергий вплоть до (рис. 45) при следующих значениях параметров, входящих в формулы (22.14) (Лайсон ):