9.4. Постановка задачи.

Поскольку в области низких энергий амплитуда рассеяния сводится к небольшому числу парциальных волн, естественной математической формулировкой низкоэнергетического приближения является система спектральных представлений для парциальных волн, дополненных условиями унитарности и кроссинг-симметрии. В этой связи следует отметить, что изучение аналитических свойств парциальных амплитуд в комплексной плоскости переменной v может быть проведено как с помощью представления Мандельстама, так и другими способами. Мы имеем здесь в виду параметрическое представление Наканиши (1961), доказанное для произвольных диаграмм теории возмущений. Для парциальных волн пион-пионного рассеяния спектральное представление имеет форму

Здесь — мнимая часть парциальной волны в физической области, которая в области низких энергий удовлетворяет условию унитарности (7.13), — мнимая часть в нефизической области на кроссинг-разрезе — полином степени , соответствующий возможности вычитания.

Таким образом, проблема математической формулировки низкоэнергетической теории сводится теперь к выражению функций и полиномов а также мнимых частей через амплитуды во всем необходимом интервале значений аргументов.

Мнимая часть определена формулой (7.13), строго говоря, только ниже первого неупругого порога при (т. е. ). Обычно, однако, полагают

считая, что в разумную низкоэнергетическую схему высокоэнергетическая часть области интегрирования не может вносить большого вклада, или, точнее, что обе области могут быть подавлены соответствующим числом вычитаний. Таким образом, будем считать, что в системе (9.1), (9.6) уже содержатся аналитичность и унитарность. Функции и теперь должны быть определены с помощью кроссинг-симметрии, т. е. выражены через все парциальные волны рассматриваемого приближения. Определение может быть проведено с помощью использования кроссинг-симметрии для мнимой части амплитуды рассеяния. Кроссинг-симметрия согласно (9.1) будет определяться одновременно интегралом от и полиномом Таким образом, уже при фиксированной кроссинг-симметрии мы можем «корректировать» еще кроссинг-симметрию действительной части Заметим еще, что введение полинома степени может привести к линейному росту на бесконечности и, следовательно, к противоречию с унитарностью. С другой стороны, вычитания, вообще говоря, являются необходимыми для обеспечения правильного порогового поведения парциальных волн

Таким образом, задача согласования порогового и высокоэнергетического поведения высших парциальных волн не является тривиальной.

Мы рассмотрим сейчас две различные схемы построения систем уравнений для низших парциальных волн. Это, во-первых, схема Чу — Мандельстама (1960), в которой положение (б) используется при аппроксимации мнимой части амплитуды рассеяния в нефизической области, охватывающей область спектральной функции. Мы увидим, что схеме Чу — Мандельстама присущи серьезные внутренние трудности, которые препятствуют получению физически интересных результатов.

Во второй схеме, предложенной в работе Ефремова и др. (1960) и известной под названием дифференциального приближения (ДП), положение (б) используется при аппроксимации действительной части амплитуды рассеяния. При этом условия кроссинг-симметрии также формулируются приближенно. Схема ДП не обладает внутренними математическими противоречиями. Ее ценность непосредственно связана с физическим смыслом использованных приближений и ограничена главным образом использованием низкоэнергетических приближений во всей области изменения переменных вплоть до в первую очередь использованием условия упругой унитарности.