ПРИЛОЖЕНИЕ 6

В § 29 была сформулирована задача о нахождении парциальных волн или матричных элементов -матрицы которые подчиняются условиям являющимся следствиями уравнений типа уравнения Там же было дано решение этой задачи для частного случая двухрядной матрицы А у методом, который легко обобщается на любую двухмерную матрицу, соответствующую моментам сталкивающихся частицы и источника. Общие свойства этих решений, если на них смотреть как на эвристические, можно использовать для построения целого класса решений уравнений типа уравнения с матрицей кроссинг-симметрии произвольного порядка.

Ниже мы коротко изложим схему такого построения (Мещеряков ).

Риманова поверхность матричных элементов определяется так же, как и в двухрядном случае, присутствием в общем решении функции

Целесообразность введения этой функции вне зависимости от порядка матрицы объясняется тем, что в записи через нее условие унитарности на функцию линеаризуется и имеет вид

где

Общее решение не обладающее какой-либо симметрией по переменной w, содержит w явно. Отсюда следует, что риманова поверхность которая согласно условию кроссинг-симметрии содержит как четные, так и нечетные функции, вообще говоря, бесконечнолистна. Этот факт естественно учитывается, если рассматривать как функцию переменной w, после чего основные условия принимают следующую форму:

Вспоминая результаты § 29, легко получить, что условие всегда допускает решение вида

Кроме того, решение задачи для двухрядной матрицы указывает на то, что если — какое-либо решение задачи то

также является ее решением. Таким образом, если известно частное решение задачи то, пользуясь произволом можно построить целый класс решений исходной задачи.

В качестве исходных частных решений выбираются решения задачи имеющие конечное число полюсов во всей плоскости Для таких решений существует метод построения функций Он основан на том, что можно указать окружность достаточно большого радиуса, которая охватывает все полюсы функций . Поэтому вне ее имеет место разложение в ряд:

который сходится абсолютной равномерно при Условие II приводит к тому, что коэффициенты ряда чисто действительные:

а из условия IV кроссинг-симметрии следуют уравнения

Для выяснения ограничений, налагаемых на коэффициенты условием унитарности, нужно воспользоваться равенством

Вид этого равенства не зависит от индекса i. Обе части его удобно разложить по возрастающим степеням Левая часть представляется в необходимом виде с помощью техники обращения рядов.

Упрощение правой части производится на основе очевидной формулы

Далее, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях получим ряд равенств, из которых выпишем явно только первое:

Условие унитарности оставляет произвольными и выражает коэффициент через все предыдущие. Комбинируя уравнения получаем нелинейную систему алгебраических уравнений для

Из вышеизложенного следует утверждение о том, что число различных решений задачи обладающих конечным числом полюсов в плоскости w, не больше числа различных действительных решений системы .

Совместное решение бесконечной системы уравнений позволит представить искомые функции в виде . Эта задача может быть решена конечным числом шагов. Действительно, существует теорема о том, что число линейно независимых коэффициентов определяется числом полюсов функций если считать каждый из них столько раз, какова его кратность (Гантмахер ). Эта теорема естественно записывается с помощью бесконечной ганкелевой матрицы

У матрицы детерминанты главных миноров равны нулю, начиная с где — число полюсов функции Теорема о числе линейно независимых коэффициентов разложения делает вполне разрешимой бесконечную систему уравнений . Отметим, что эта система содержит нелинейные уравнения только на первом этапе, остальные уравнения линейны. Практическое решение следует начинать с уравнений

Изложенную методику можно проиллюстрировать конкретным примером, скажем, матрицы соответствующей моментам взаимодействующих частицы и источника:

В этом случае функции имеют вид

Свойства позволяют, используя функции построить целый класс решений задачи для матрицы кроссинг-симметрии .