2.2. Условие унитарности.

Д. с. (2.15), так же как и (2.13), не являются уравнением для амплитуды рассеяния; они только выражают ее аналитические свойства. Чтобы превратить их в уравнения, нужна дополнительная связь между действительной и мнимой частью амплитуды рассеяния. Для получения этой связи надо использовать условие унитарности, которое не зависит от потенциала и имеет общий характер.

Рассмотрим уравнение Шредингера для частицы с импульсом к и комплексно сопряженное уравнение для частицы с импульсом W. Считая потенциал действительным и умножая слева первое уравнение на а второе — на получим после вычитания одного из другого:

Интегрируя это равенство по объему большой сферы и пользуясь формулой Гаусса — Остроградского, получим

Здесь интегрирование проводится уже по поверхности сферы. На зтой поверхности волновые функции выражаются через амплитуду рассеяния

Интегрирование по поверхности дает

Это равенство связывает мнимую часть амплитуды рассеяния со всей амплитудой. Уравнение (2.16) называется квантовомеханическим или двухчастичным условием унитарности. Отметим, что условие (2.16) обусловлено сохранением потока вероятности. Последний сохраняется только тогда, когда потенциал действителен. Если же потенциал комплексен, то к правой части (2.16) следует приписать член, пропорциональный поглощению частиц, т. е. пропорциональный мнимой части потенциала.

Если то слева мы имеем мнимую часть амплитуды рассеяния вперед, а справа — квадрат амплитуды рассеяния, проинтегрированный по всем углам, что согласно (2.4) равно полному сечению рассеяния. Это и есть так называемая оптическая теорема:

Интеграл в (2.16) удобно выразить как интеграл по — косинусам угла рассеяния амплитуд , т. е. вместо переменной в телесном угле нужно ввести переменную

Здесь — ступенчатая функция:

Используя разложение (Редже (1960))

нетрудно получить условие унитарности для парциальных амплитуд

Оно имеет простой вид:

Из условия унитарности (2.19) следует

причем функция действительна при . Приведем еще формулу условия унитарности, когда вместо переменной z используется переменная :

Мы видим, что связь мнимой части амплитуды при фиксированном с действительной частью существенно зависит от значений амплитуды при всех физических углах . В то же время дисперсионные соотношения (2.15) справедливы только при .

Поэтому без информации об аналитических свойствах амплитуды в более широкой области по нельзя комбинировать условие унитарности (2.21) и д. с. (2.15).