22.5. Кроссинг-симметрия и анализ s-волн.

Описанный выше подход позволил получить важные результаты о -волнах -рассеяния, но ничего не говорит о -волнах. Его можно развить, включив в рассмотрение для производных амплитуд рассеяния по передаче импульса t. Таким путем оценивается влияние р -резонанса на и другие волны -рассеяния. Однако полученные при этом результаты (формулы, аналогичные формулам ) в основном определяются статическим пределом условий кроссинг-симметрии для парциальных волн. Поэтому целесообразно остановиться на этих условиях.

Выше (см. ) мы уже установили вид условий кроссинг-симметрии для инвариантных амплитуд . Теперь эти условия нужно перенести на парциальные волны Фактически они уже фигурировали в уравнениях (22.5) и (22.7) и были явно выписаны для -волн -рассеяния (условие ). Выясним условия кроссинг-симметрии для любых парциальных волн. Для этого сначала определим, что означает замена на языке переменных и z — полной энергии пиона и косинуса угла рассеяния в , т. е. разрешим уравнения:

Используя формулы (21.12), (21.13) и проводя разложение по степеням получим из (22.17)

Сохраним в этих формулах члены до порядка . Они показывают, что условия кроссинг-симметрии перепутывают амплитуды с разными значениями I и включают производные амплитуд рассеяния. В статическом пределе эти условия для амплитуд с разными значениями I расщепляются (Эдвардс, Метьюз ). Представляя амплитуду М (формула ) в виде

легко получить, что амплитуда рассеяния без изменения ааправления спина симметрична, а с переворачиванием спина — антисимметрична относительно замены , т. е. (см. (22.2))

или, в матричной записи,

Каждая из парциальных волн имеет изотопическую структуру. Комбинации парциальных волн с изотопическими индексами симметричны и антисимметричны при операции кроссинг-симметрии. Используя формулы (21.7) и (21.8), получаем

или, в матричной форме,

Собирая результаты (22.19), (22.20), получаем, что матрица кроссинг-симметрии имеет ранг 4 и представляет собой прямое произведение матриц (22.19), (22.20). Исключение составляет -волна, для которой и условие кроссинг-симметрии сводится к формуле (22.20).

Применим эти соотношения для выяснения вида энергетической зависимости -волн (Метьюз ). Пренебрежем в (22.20) мнимыми частями парциальных волн. Такое приближение уже применялось при выводе формул в «приближении эффективного радиуса». Очевидно:

(22.21)

где

Вообще говоря, величины зависят от энергии и должны быть четными функциями и. Формулы (22.21) и отражают результат, к которому приводят релятивистские д. с. в статическом пределе (Чу Голдбергер, Лоу Намбу — ЧГЛН (1957)).

Если обратиться к экспериментальным данным (Гамильтон, Вулкок (1963)), то для длины рассеяния имеем

В приближении длины рассеяния , а экспериментальные данные указывают на рост с энергией. Далее, из опыта следует, что величина постоянна в широком интервале энергий, в то время как формула (22.21) приводит к росту . Это означает, что в выражениях для должны присутствовать члены, компенсирующие, с одной стороны, рост , с другой стороны, обеспечивающие рост .

Столь существенная зависимость -волнового взаимодействия от изотопического спина необъяснима не только в теориях с неподвижным источником. Эта трудность характерна для любых моделей с взаимодействием, содержащим только мезон-нуклонные члены типа .

Возникшую ситуацию можно сформулировать иначе: мезон-нуклонное рассеяние в области малых энергий определяется не только рассмотренным выше видом взаимодействия (22.6); неизвестное взаимодействие будет сильно сказываться на -волнах и, может быть, на малых -волнах; его влияние на -волну должно быть незначительным.

Ранее при обсуждении последовательности сильно взаимодействующих частиц (гл. 1) было установлено, что таким взаимодействием является -взаимодействие. Его проявление в процессах -рассеяния можно изучить с помощью представления Мандельстама.