29.2. Решение задачи об s-волнах.

Начнем его с выяснения тех ограничений, которые налагают на условия кроссинг-симметрии. Представим в виде столбца (Вандерс ):

Тогда условие (4) запишется в матричной форме

(29.10)

Разобьем на четную и нечетную части. Каждая из них в отдельности удовлетворяет уравнениям

Разрешая уравнения (29.11), получим

(29.12)

Формулы (29.12) определяют наиболее общий вид столбца удовлетворяющего уравнению (29.10). Из них, в частности, следует, что если положить то

Здесь симметричная функция подчиняется условиям (1) — (3). Построить функцию с такими свойствами нетрудно. Для этого заметим, что в силу симметрии условие унитарности (3) справедливо и на левом разрезе. Поэтому совершим конформное преобразование плоскости z во внутренность единичного круга плоскости так, чтобы точки перешли в точки соответственно. Такое преобразование имеет вид

Рассматривая как функцию , легко убедиться в том, что подчиняется уравнениям

Сама функция , в частности, удовлетворяет условию (29.15). Однако она не является наиболее общей функцией, имеющей такое свойство. Последней будет так называемая функция Бляшке (Маркушевич (1950)), которая для единичной окружности имеет вид:

Здесь k — порядок особенности в нуле, а — нули функции Бляшке. Из условия (2) следует, что множество нулей симметрично относительно оси Симметрия функций приводит к симметрии нулей в плоскости относительно точки . Отсюда уже просто установить, что множество нулей симметрично относительно осей Пример такого множества изображен на рис. 64.

Представление (29.16) удобно тем, что в нем независимые параметры непосредственно связаны с такими физическими характеристиками системы сталкивающихся частиц, как положения и ширины резонансов или массы связанных состояний.

Число особенностей может быть и бесконечным. Возникающие при этом ограничения на хорошо изучены (Маркушевич ). Окончательно получаем частное решение задачи в виде

Рис. 64.

Риманова поверхность этой функции двулистна, что очевидно из формулы

Общий вид столбца определяется двумя функциями. Ввиду линейности соотношений (29.12) эти функции обладают свойствами

Условие унитарности приводит к тому, что имеют место равенства

Предположим, что решение (29.19) существует. Тогда уравнение (29.19) определяет две единичные окружности с центрами в точках . Очевидно, что окружности пересекаются, т. е. уравнения (29.19) совместны, не при любом отношении . Из (29.19) имеем

В плоскости есть уравнения двух окружностей (рис. 65) одинакового радиуса, точки пересечения которых определяются условием

Это условие может быть получено из (29.20) и чисто алгебраически.

Оно справедливо для . В силу нечетности функции правая часть (29.22) меняет знак при . Введем обозначение

Тогда из условия унитарности следует, что в (29.22) фигурирует величина

Рис. 65.

Воспользовавшись уравнениями (29.18), получим . Окончательно (29.22) записывается в виде

(29.23)

Уравнение (29.23) представляет собой хорошо известную линейную краевую задачу Римана; методы решения ее изложены, например, у Гахова (1963). В нашей постановке — произвольная нечетная мероморфная функция, поэтому решение ищется среди более широкого класса функций, чем обычно. Определим новую функцию

где под понимается выбранная выше ветвь двузначной функции, подчиняющаяся (29.5). Для легко установить свойства

и показать, что на разрезах она подчиняется уравнению

Частное решение (29.26) находится с помощью теоремы Коши, примененной к функции вдоль контура С (рис. 44). Оно имеет вид

Будем искать общее решение в виде

Тогда определяется уравнением

т.е. является произвольной мероморфной функцией. Возвращаясь к функции , получаем общее решение уравнения (29.23):

причем

Интересно отметить геометрический смысл частного решения (29.23)

В комплексной плоскости (29.29) суть уравнения двух прямых, параллельных мнимой оси (рис. 66). Пусть частное решение будет аналитической функцией z в плоскости с разрезами. Отсюда следует, что оно должно осуществлять конформное преобразование односвязной области плоскости z (плоскость с разрезами) на односвязную область плоскости w (рис. 66). Антисимметрия функции однозначно показывает, что этой областью в плоскости w является полоса, ограниченная линиями Теперь легко убедиться в том, что искомая аналитическая функция z совпадает с из (29.29).

Так как отношение известно (29.28), то решение уравнения (29.21) сводится к нахождению, например, функции . Будем искать решение как функцию

Рис. 66.

Встречавшиеся выше функции z и выражаются через новую переменную следующим образом:

Любая мероморфная функция г перейдет при замене (29.30) в мероморфную же функцию w. Порядок роста целых функций при этом меняется. Например, простейшая целая функция z, имеющая полюс первого порядка на бесконечности, в плоскости w также будет целой функцией w, но первого порядка.

В новой переменной w имеем

где

Формулы (29.31) и (29.32) показывают, что двузначные в плоскости z функции превращаются в плоскости w в периодические. Введем еще одну функцию

Из соотношений (29.18) и (29.21) следует, что Воспользовавшись определением (29.29), получим функциональное уравнение для

Кроме того, является нечетной функцией z, а значит и w. Окончательно для определения находим два функциональных уравнения:

(29.35)

Для решения уравнений (29.35) их достаточно прологарифмировать. Тогда первое из них дает где — любая антисимметричная функция своего аргумента. Окончательное решение имеет вид

где

Периодичность функции наводит на мысль о том, что она является мероморфной функцией z на двулистной римановой поверхности. Этот факт можно установить прямым вычислением. Однако более удобно вернуться к переменной z. Для этого положим

и, пользуясь свойствами h(w), установим, что обладает следующими свойствами:

Переходя к переменной z, получим для

Теперь легко убедиться в том, что условия (29.37) совпадают с таковыми для функции s(z), определенной (29.13). Следовательно, общий вид дается формулой (29.16) и

После подстановки (29.36) в (29.12) получим искомое выражение для

Особенности S(w), обусловленные были подробно проанализированы выше. Они есть не что иное, как неоднозначности типа КДД-полюсов, каждый из которых задается двумя параметрами. Из формул (29.39) следует, что эти неоднозначности возникают в обеих парциальных волнах одновременно.

Оставшаяся часть зависит от произвольной мероморфной функции . Функция осуществляет связь между парциальными волнами . Анализ этой части S(w), зависящей от удобно проводить в комплексной плоскости . Полюсы и нули определяются уравнениями

Воспользовавшись свойством периодичности уравнения (29.40) можно привести к виду

из которого следует, что для определения корней уравнений (29.40) достаточно решить одно из них, например с

Корни уравнения (29.41), а следовательно, и уравнения (29.40) сдвинуты по отношению к корням уравнения (29.42) на величину .

Рассмотрим отношение которое входит в . Очевидно, что нули знаменателя сдвинуты на 1 по отношению к нулям числителя. Иначе говоря, полюсы и нули этого отношения симметричны относительно линии которая является образом правого разреза плоскости (разрез Выражение для держит дополнительный множитель множество нулей и полюсов которого также симметрично относительно линии Указанная симметрия есть следствие условия унитарности на разрезе Легко убедиться в том, что решение (29.39) удовлетворяет условию кроссинг-симметрии и, как следствие, не унитарно на разрезе или на его образе в плоскости — линии .

Из уравнения (29.42) можно получить следующие свойства множества его корней

а) множество W симметрично относительно начала координат,

б) множество W симметрично относительно оси

Как следствие (а) и (б), множество также относительно оси Поэтому для определения его достаточно найти все корни уравнения (29.42), расположенные в первом квадранте плоскости w, включая его границу.

Дальнейшая детализация свойств множества W возможна лишь при некоторых предположениях относительно Ниже будет достаточным предположить, что имеет вид

что соответствует следующему предположению о виде функции

Здесь Р и Q — полиномы по о с действительными коэффициентами, один из которых является нечетной функцией . Тогда уравнение (29.42) приводится к виду

Исследование нулей уравнения (29.44) было проведено Понтрягиным (1942).

29.3. Построение формул, описывающих экспериментальные данные по -фазам -рассеяния. Оно сводится к установлению вида функций Р, Q и D. Прежде всего необходимо обеспечить наличие при малых q следующих разложений:

которые определяются требованием того, чтобы формулы (29.39) определяли -фазы.

Разрешая уравнения (29.39) относительно функций и D(w), получим

Из (29.46) и (29.45) следуют разложения

Очевидно, что, исходя из (29.47), в качестве удобно выбрать следующее выражение:

В силу четности можно понимать как полином от Дальнейший выбор функций и должен целиком базироваться на экспериментальных данных, которые указывают на то, что между фазами существует соотношение

Этому соотношению можно удовлетворить, если, например, положить Действительно, в этом случае легко получить, что

где

Длины рассеяния определяются формулами т. е. при малых q условие (29.49) выполняется.

Предположение о виде приводит к экспериментально проверяемым следствиям. Отношение определяет функцию и не зависит от предположений относительно :

Если то можно вычислить и из экспериментальных данных по , так как в этом случае имеет место формула

Очевидно, что функции должны совпадать, если Результаты их расчета приведены

Рис. 67.

на рис. 67. Они ясно указывают на отсутствие равенства функций , т. е. .

Из формулы (29.39) следует, что при должна существовать такая мероморфная функция R(z), для которой имеет место равенство

где даются формулами (29.51). Равенство (29.54) является следствием условия кроссинг-симметрии, так как именно оно устанавливает связь между парциальными волнами .

Выбирая для выражение

и аппроксимируя экспериментальные данные по -фазам формулами (Маккинли )

можно показать, что равенство (29.54) хорошо удовлетворяется (рис. 68).

Рис. 68.

Хотя условие кроссинг-симметрии является приближенным, результаты расчета (рис. 68) позволяют надеяться, что с их помощью можно получить удовлетворительное описание -волн. Исходя из формул (29.14) — (29.17) и вида функций , естественно принять для следующее аналитическое выражение:

Трех коэффициентов достаточно для описания кривой рис. 68. Расположение нулей и минимумов на рис. 68 свидетельствует в пользу предположения о том, что Заметим, что этот же результат можно получить и при если Поэтому положим ниже .

Таким образом, экспериментальные данные по -фазам -рассеяния анализируются с помощью формул

(29.57)

где А, определены формулами (29.51) с

В качестве экспериментальных данных взят набор фаз из работы Маккинли (1963). Последняя рассмотренная точка имеет энергию в л. с. к. В табл. 5 приведены результаты анализа). Большое значение в первом столбце определяется тремя точками. Вклад в каждой из них больше 10. Эти точки расположены относительно кривых так, что для их описания необходимо введение дополнительных параметров в формулы (29.57). Даже если пытаться провести кривые по этим точкам, то фазы будут слишком быстро меняться в интервале , что не находит подтверждения в других способах описания -фаз -рассеяния.

Поэтому целесообразно исключить эти точки из анализа. Ими являются следующие: при и при и . После такого изменения экспериментальных данных величина резко падает (второй столбец). При этом все коэффициенты меняются незначительно, кроме который падает больше чем на порядок.

Заметим, что ошибка в определении этого коэффициента превышает его величину. Поэтому целесообразно положить что практически не влияет на значения остальных коэффициентов, но приводит к уменьшению ошибок (третий столбец).

Таблица 5

Исходя из формул (29.57), легко вычислить длины рассеяния:

Значения длин рассеяния (29.58) расходятся с результатами других методов, например, значениями, полученными Гамильтоном и Вулкоком (1963). Однако они прекрасно согласуются с последними экспериментальными данными по -рассеянию при и (Дональд и др. (1966)), которые приводят к следующим величинам:

Из (29.59) следует, что .

Новейшие попытки определения длин рассеяния на основе д. с. для рассеяния вперед также приводят к большим значениям (Самаранаике, Вулкок ):

Общей чертой последних данных является большая величина разности все три приведенных значения которой согласуются между собой.

Рис. 69.

Некоторое отличие в значении может быть обусловлено различным экспериментальным материалом, использованным при получении (29.60). Описание зависимости фазовых сдвигов -волн от энергии следует признать хорошим, так как , где N — число степеней свободы распределения Особо нужно отметить, что кривая хорошо проходит через точки при энергиях 98, 150 и (рис. 69). Эти экспериментальные значения вызывали большие трудности при описании -фаз другими способами (Маккинли ).

Таким образом, можно надеяться, что дальнейшие экспериментальные и теоретические работы приведут скорее к подтверждению и уточнению общего хода кривых (рис. 69, 70) и значений длин рассеяния (29.58), чем к опровержению этих результатов.