9.3. Противоречивость низкоэнергетических положений.

Как было установлено в § 8.3, условия аналитичности, двухчастичной унитарности и кроссинг-симметрии являются несовместными. Низкоэнергетическое положение (б) усугубляет ситуацию. Ограничение по числу парциальных волн приводит к противоречию с любым из двух наборов: 1) кроссинг-симметрия унитарность, 2) кроссинг-симметрия аналитичность.

Для того чтобы убедиться в этом, заметим, что ограничение числа парциальных волн приводит к тому, что амплитуда рассеяния представляется полиномом степени по инвариантной переменной t. Кроссинг-симметрия требует теперь, чтобы была полиномом степени также относительно переменной s (или, что эквивалентно, относительно и). Очевидно, что полиномиальная функция не обладает разрезами, а также не подчиняется условию унитарности. Таким образом, невозможно использовать положения (а) и (б) буквально; следует делать лишь приближения «в духе» этих положений, причем неудачные приближения могут привести к противоречиям.

Заметим, что представление Чини — Фубини использует положение (б) лишь по отношению к мнимым частям амплитуды рассеяния. Действительная часть, определяемая формулой (9.1), не является полиномом по s, и, t и, следовательно, содержит все парциальные волны. Этот факт лишний раз иллюстрирует то обстоятельство, что задача получения уравнений для парциальных волн, исходя из сформулированных низкоэнергетических положений, не является однозначной процедурой. Ее успешная реализация требует определенного искусства балансирования, чтобы избежать указанных противоречий.