7.2. Связь с сечением рассеяния и оптическая теорема.

Следует еще связать амплитуду рассеяния с эффективным поперечным сечением рассеяния .

Для этого воспользуемся методом рассуждения из § 22 книги Боголюбова и Ширкова (1957).

Рассмотрим амплитуду состояния с двумя свободными мезонами:

Функция является волновой функцией мезона в импульсном представлении, а ее фурье-образ

— волновой функцией в координатном представлении. Норма амплитуды есть, очевидно,

Величина может поэтому рассматриваться как плотность вероятности. Полагая

получаем состояние, нормированное на единицу объема, для каждой из частиц (т. е. ). В то же время согласно (7.16) и (7.15) в этом случае

Поэтому амплитуда (7.17) соответствует нормировке на единицу объема для каждой из частиц.

В результате рассеяния амплитуда (7.17) перейдет в

Согласно общим правилам квантовой механики вероятность перехода в состояние равна

Конечное состояние возьмем в виде

где G — область объемом около средних значений Тогда

и

вследствие чего

Полагая, что импульсы начальных и конечных мезонов не совпадают, подставим (7.2) в (7.18). Учтем при этом, что

где V и Т — полный объем и полное время. Поэтому вероятность перехода в единицу времени и в единице объема будет равна

Переходя в и заменяя малые объемы дифференциалами, получаем, последовательно снимая интеграции:

Дифференциальная вероятность выражается через дифференциальное сечение с Помощью соотношения

где — скорость относительного сближения мезонов, равная Подставляя (7.20) в (7.19), получим

откуда

или, в инвариантных переменных,

Не проводя рассуждений в выпишем лишь некоторые формулы. Дифференциальное сечение:

Полное сечение:

Импульс рассеянного мезона и косинус угла рассеяния связаны соотношением

а интегрирование в (7.24) выполняется в пределах .

Получим теперь оптическую теорему. Для этого положим в т. е. рассмотрим рассеяние вперед; тогда

Сравнивая правую часть с (7.22), получим оптическую теорему:

В л.с.к.