8.2. Унитарность.
Применим теперь условие двухчастичной унитарности
к амплитуде рассеяния, записанной в виде (8.1). Из (8.1) вытекает, что при фиксированном s амплитуда 
может быть представлена в виде
где
Переходя с помощью подстановки
от переменных 
к переменным 
, получаем
Внося представление (8.6) в правую часть условия унитарности (7.11), находим
где
причем
Вычисляя этот интеграл в явном виде, получаем
Мы выбрали ветвь логарифма, не имеющую мнимой части для физических значений 
при 
При нефизических значениях 
выражение в правой части (8.8) становится комплексным.
Используем его для аналитического продолжения 
в нефизическую область, подставив (8.8) в
При 
выражение (8.9) становится комплексным, и мы можем вычислить скачки функции 
а следовательно, и 
на разрезах в плоскости комплексной переменной z, т. е. определить спектральные функции, поскольку согласно (8.1) при s > 4
Вычисление мнимой части (см. Приложение 2) дает 
при 
и выполнении условий:
Рассмотрим первую область, 
. Возвращаясь к инвариантным переменным, получаем
где
Выполняя во втором слагаемом в правой части замену переменных интегрирования 
с помощью (8.5) представим 
в виде
(смысл верхнего значка 
) станет ясен из дальнейшего).
Рассмотрим теперь область определения спектральной функции 
фиксируемую областью интегрирования в правой части (8.10).
Ввиду очевидной симметрии по переменным t и u изучим только первый интеграл. Область интегрирования в нем определяется условиями
Рис. 17.
Из (8.11) и (8.9) вытекает, что область, в которой 
отлична от нуля, ограничена кривой, описываемой уравнением
что дает гиперболу
с асимптотами 
. Эта область изображена на рис. 17 как 
.
Перейдем ко второй области, 
Для нее получаем
Возвращаясь к инвариантным переменным и делая подстановку 
— для членов с 
а также 
, находим
Не составляет труда убедиться в том, что это выражение определяет спектральную функцию 
в области, ограниченной гиперболой
Эта область на рис. 17 отмечена символом 
Полученная картина аналогична нерелятивистскому случаю, разобранному в главе 1.
Для системы соотношений, состоящих из (8.10), (8.13) и формулы
напрашивается итерационный способ решения, основанный на использовании низкознергетической спектральной плотности 
в качестве первого приближения.
