ГЛАВА 2. ОСНОВНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ НИЗКОЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ ПРИБЛИЖЕНИЙ

§ 6. Аксиоматическая теория рассеяния

В предыдущих параграфах было показано, что метод д. с. в квантовой теории поля позволяет получить ряд важных соотношений между наблюдаемыми величинами для процессов рассеяния сильно взаимодействующих частиц — пионов, нуклонов и т. д. Эти д. с., как отмечалось, могут быть получены без обращения к динамическим источникам информации, таким как гамильтониан или лагранжиан взаимодействия, а исходя из определенной системы аксиом, содержащей такую информацию лишь косвенно. Здесь имеются в виду массы частиц и дискретные правила отбора (по электрическому заряду, изотопическому спину, четности и т. п.), которым в последнее время иногда пытаются придать динамический смысл. Метод непосредственного получения следствий из самых общих аксиом квантовой теории поля, таких как унитарность, инвариантность, причинность, называется аксиоматическим.

Важность аксиоматического метода определяется следующими обстоятельствами. Хорошо известно, что «классическая» квантовая теория поля практически располагает лишь одним «отлаженным» аппаратом — теорией возмущений (т. в.). В рамках ковариантной т. в. удалось преодолеть трудности, связанные с наличием ультрафиолетовых расходимостей. Метод исключения этих расходимостей, известный под названием теории перенормировок, носит, однако, ограниченный и несколько формальный характер. Его не удается сформулировать для слабых взаимодействий.

Т. в. с процедурой перенормировок принесла несомненный успех лишь в квантовой электродинамике.

В этих условиях интерес к аксиоматическому методу в теории сильных взаимодействий является вполне очевидным. Существенная черта этого метода состоит в том, что при формулировке аксиом не используются понятия, соответствующие ненаблюдаемым характеристикам, таким как голые невзаимодействующие частицы, виртуальные частицы и т. п. Эти понятия, как и понятие диаграммы Фейнмана, являются атрибутом т. в.; они связаны с используемой в т. в. концепцией свободных полей, не взаимодействующих с вакуумом, и с учетом этого взаимодействия как возмущения.

В аксиоматическом подходе квантованные поля сопоставляются асимптотически свободным падающим и рассеянным частицам. Амплитуды состояний, содержащих такие реальные частицы, наделяются требуемыми трансформационными свойствами по отношению к лоренцевским, изотопическим и другим преобразованиям. Система этих амплитуд с определенными значениями энергии и импульса является полной. Состояние, содержащее рассеянные частицы, связано с состоянием, содержащим падающие частицы, унитарным оператором — матрицей рассеяния S. Матричные элементы этого оператора между реальными состояниями могут быть выражены через вакуумные ожидания от вариационных производных S по полям. Свойство локальной причинности формулируется в виде условия на эти вариационные производные. Оно отражает тот факт, что события, разделенные пространственно-подобным интервалом, не коррелируют друг с другом.

Перечисленных положений оказывается достаточно для того, чтобы получить из них описанные выше д. с., а также ряд других важных результатов: спектральные свойства одночастичных пропагаторов, СРТ-теорему и ряд других. Однако, как уже упоминалось, на этом пути все же не удается получить систему уравнений для наблюдаемых величин типа матричных элементов рассеяния. Указанные результаты приходится дополнять правдоподобными гипотезами.

Одной из таких гипотез является двойное спектральное представление Мандельстама для амплитуды рассеяния, которому, по-видимому, удовлетворяют отдельные члены обычной жтеории возмущений.

Схема аксиоматического описания процессов рассеяния, основанная на представлении Мандельстама, получила в последние годы известность под названием «теории матрицы рассеяния» (теории S-матрицы) — см., например, монографию . Система исходных положений этой теории включает аналитические свойства матричных элементов, постулированные в виде спектральных представлений, обладающих свойствами кроссинг-симметрии. Нижние границы областей интегрирования в этих представлениях находятся в соответствии с двухчастичными условиями унитарности. Система включает также условие унитарности S-матрицы.

Привлекательность «теории матрицы рассеяния», таким образом, состоит в том, что эта схема представляет собой как бы вариант аксиоматической теории поля, «очищенной» от квантово-полевых понятий, связанных со вторичным квантованием. Эти понятия фактически используются как наводящие соображения при конкретном установлении аналитических свойств, которые затем постулируются.

Недостаток упомянутой теории заключается в том, что ее исходные посылки недостаточны для получения конкретных результатов. Мы увидим ниже (§ 7), что без дальнейших упрощающих предположений не удается далеко продвинуться. Среди этих предположений важную роль играет «приближение эффективного радиуса», низкоэнергетические приближения упругой унитарности и ограничения небольшим числом низших парциальных волн. С помощью подобных упрощений удается получить систему уравнений для низших парциальных волн упругого рассеяния (§§ 8, 9).