29.4. Интерпретация полюсов функций Si(w).

В процессе получения формул, описывающих экспериментальные данные по -фазам -рассеяния, произвол, содержащийся в уравнениях (29.39), использовался без всяких ограничений.

Рис. 70.

Поэтому вполне возможно, что окончательные выражения для имеют полюсы на физическом листе комплексной плоскости z. Поскольку уточнение экспериментальных данных должно привести к видоизменению параметризации (29.57), то нет особого смысла в исследовании полюсов именно этих формул. Более разумным представляется решение вопроса о смысле полюсов и их интерпретации. Однако сначала мы все же укажем, как в принципе могут быть найдены полюсы.

Для нахождения полюсов , связанных с функцией D(w), удобно представить D в форме (29.16), что легко достигается заменой

Далее, очевидно, что все полюсы с попадут во внутренность единичного круга в плоскости , т. е. на физический лист .

Определение полюсов, обусловленных функцией связано с решением уравнения (29.42), как было показано выше. Из формул (29.39) и (29.41) следует, что на физический лист попадут только те из корней уравнения (29.42), которые расположены в полосах . В силу симметрии множества корней уравнений (29.42) для их нахождения достаточно установить все корни, расположенные в полуполосе .

Рис. 71.

Наиболее общее расположение полюсов функций , независимо от того, происходят ли они от функцдр или изображено на рис. 71. Разумеется, конкретное число чисто мнимых, действительных и комплексных полюсов зависит от вида Часть полюсов фактически будет отсутствовать в функции это те полюсы, которые возникли из уравнения (29.40) с , так как им соответствуют нуличислителя (29.39), расположенные в тех же точках. Поэтому, строго говоря, на рис. 71 изображено объединение множеств полюсов . Запишем каждый из элементов этого множества в виде

Тогда любому из множеств такого типа можно поставить в соответствие функцию комплексного переменного z, имеющую в точках полюсы, а именно:

Мероморфная функция обладает следующими свойствами:

Поэтому, вспоминая свойства функции источника и можно положить

Таким образом, формулы (29.62) и (29.64) дают рецепт построения функции источника по заданным матричным элементам .

Рассмотрим, далее, вопрос о том, в каком отношении находится изложенная выше количественная теория -волн -рассеяния с аналогичным исследованием, основанным на представлении Мандельстама (§ 26). Для этого связь функций представим в виде

Аналитические свойства функций определяют таковые для функции аналитические свойства последней, исходя из представления Мандельстама. Для этого воспользуемся анализом аналитических свойств парциальных волн в комплексной плоскости s (рис. 49). Заметим, что z и s связаны соотношением

Теперь легко получить аналитические свойства функции в плоскости z; они изображены на рис. 72. Сопоставляя их с аналитическими свойствами той же величины в статической модели, показанными на рис. 71, мы приходим к выводу:

в последней разрез вдоль прямой возникающий от реакции представлен в виде системы полюсов. Функция р(z), построенная по зтим полюсам, определяет пространственное распределение источника — нуклона. После изучения электромагнитной структуры нуклона (§ 28) подобная связь разреза от реакции и структуры источника представляется естественной.

Рис. 72.

Таким образом, рассмотрение -волн -рассеяния в рамках статической модели подтверждает вывод более общего, но математически менее строгого анализа, основанного на представлении Мандельстама, о необходимости учета -взаимодействия для понимания энергетического хода -волн.