24.2. Метод Гамильтона (1963).

Представление Мандельстама можно использовать и как источник информации об аналитических свойствах парциальных волн в функции комплексной переменной, например, s. Для этого нужно выразить и и t через s и с с помощью формул (21.13), (23.8). Далее, используя формулы, обратные (21.22), получаем из представления Мандельстама следующие особенности парциальных волн:

а) полюс в точке

б) разрезы

от полюса по переменной и,

в) разрез от первого канала

г) разрез от второго (перекрестного) канала

д) разрезы от третьего канала на линии и вдоль круга .

Полюс в точке происходящий от однонуклонного члена в условии унитарности, имеет только одна волна.

Это — волна квантовые числа которой совпадают с таковыми для свободного нуклона . Влияние разрезов (б) вычисляется явно, так как они возникают от известной функции

Используя аналитические свойства (а) — (д), можно написать, например, для -волны такие д. с.:

Эта формула отражает структуру разрезов в плоскости комплексного переменного s. изображенную на рис. 49.

Рис. 49.

Здесь — вклад от разрезов (б), возникающих при интегрировании полюсных членов. Интегральные члены вычисляются, если известны фазы рассеяния как функции энергии. В первом интеграле

И зависит только от -фаз -расееяния.

Подынтегральная функция второго интеграла в (24.2) является значением Для нефизических с точки зрения канала s значений аргумента . С помощью условия кроссинг-симметрии (21.15) она может быть выражена через физические значения амплитуды в перекрестном канале. Во второй интеграл дадут вклад все парциальные волны. Функция представляет сумму интегралов вдоль разреза по кругу и разреза , которые содержат вклад от неизвестного процесса а также и от перекрестного процесса -рассеяния. Последний не может быть вычислен, даже если фазы известны, из-за расходимости рядов по полиномам Лежандра в этой области. Однако значения функции в областях можно вычислить, если использовать в качестве определения А не ее спектральное представление через разрезы, а формулу (24.2). При этом данные фазового анализа используются для вычисления в указанных областях. Далее, можно попытаться выделить вклад от ближайшей части окружности если учесть, что он дает быстро меняющуюся часть функции Далекие особенности приводят к медленно меняющимся вкладам в На основании соотношения неопределенностей ясно, что быстро меняющаяся часть функции обязана взаимодействию с большим радиусом действия, а медленно меняющаяся часть — взаимодействию на малых расстояниях.

Такое разбиение функции До на быстро и медленно меняющиеся части до некоторой степени условно и может привести к неоднозначным выводам.

Совместный анализ разностных функций для -волн позволяет сделать ряд выводов о характере -взаимодействия и его влиянии на -рассеяние. В же такой подход не приводит к формулам со столь ясным физическим содержанием, как это было получено с использованием представления Чини — Фубини. К числу недостатков такого метода нужно причислить также обилие параметров, учитывающих влияние высоких энергий. Положительной его чертой является возможность использовать различные предположения о виде -взаимодействия при анализе функций .

Даже беглый обзор различных способов использования представления Мандельстама позволяет выделить два различных подхода. В первом из них окончательным считается выражение для амплитуды рассеяния, содержащее ряд параметров с четким физическим смыслом: константы связи (Боукок и др. (I960)), положения резонансов и т. п. С помощью таких формул можно пытаться понять как само -рассеяние, так и связанные с ним характеристики нуклона (нуклонные формфакторы). Второй подход направлен на возможно более точное вычисление некоторых функций с помощью аналитических свойств, установленных на основе представления Мандельстама (Гамильтон ).

Последующий анализ этих функций позволяет выделить влияние -взаимодействия на -рассеяние. Однако он с неизбежностью требует введения большого числа чисто феноменологических параметров. Значения величин, имеющих ясный физический смысл, полученные с помощью этих подходов, удается согласовать между собой.