2.3. Двойное спектральное представление.

В квантовой механике известен класс потенциалов, для которых исследование аналитических свойств амплитуды рассеяния по и можно провести до конца. Это — суперпозиция потенциалов Юкавы

Например, второй борновский член амплитуды рассеяния для потенциала Юкавы имеет вид

Это выражение аналитично в верхней комплексной полуплоскости , если Поэтому (2.23) можно представить как

Подынтегральное выражение (2.25) перепишем в следующем виде:

Если теперь в (2.25) выполнить интегрирование по у, то получим

Это соотношение определяет аналитические свойства по переменной Именно, является аналитической функцией в комплексной плоскости разрезанной вдоль линии .

Отсюда можно написать спектральное представление амплитуды как функции комплексных переменных

где

— действительная функция, отличная от нуля в области, ограниченной кривои в плоскости s, t. Эта область заштрихована на рис. 5.

Рис. 5.

Анализируя следующие члены борновского разложения, можно прийти к выводу, что имеет такое же спектральное представление, как и Мы не будем здесь проводить этого анализа из-за громоздкости выкладок (см., например, ); отметим только, что соответствующая спектральная функция отлична от нуля в меньшей области. Граница этой области при равна .

Итак, в случае суперпозиции потенциалов Юкавы имеем следующее спектральное представление для амплитуды рассеяния:

Выражение (2.29) называется двойным спектральным представлением Мандельстама (1958). Исторически оно сначала было постулировано в квантовой теории поля и только потом строго доказано в квантовой механике для суперпозиции потенциалов Юкавы. Переход к суперпозиции в (2.29) тривиален: достаточно вместо борновского члена в (2.29) написать .

Теперь, чтобы воспользоваться этим представлением для решения задачи рассеяния, нужно переписать условие унитарности для спектральной функции . Удобнее рассматривать эту проблему в переменных s и Из спектрального представления (2.29) следует

Условие унитарности (2.16) принимает вид

Интегрируя по и считая при этом получим

При этом ветвь логарифма выбрана так, что фаза его равна нулю, когда , т. е. в физической области амплитуды рассеяния.

Формула (2.30) является интегральным представлением для осуществляющим аналитическое продолжение функции в область . В Приложении 1 детально рассмотрена процедура этого продолжения.

Функция аналитична в комплексной плоскости z, разрезанной вдоль прямой . Скачок функции на этой прямой даст спектральную функцию . В переменных спектральная функция определяется соотношением (см. Приложение 2):

При этом область интегрирования фиксируется условием

Соотношения (2.31), (2.33) и (2.29) образуют систему уравнений, определяющую амплитуду рассеяния и эквивалентную уравнению Шредингера с потенциалом . Это следует из того факта, что область интегрирования сильно ограничивается условием (2.33). Граница спектральной функции определяется уравнением (2.33), когда и достигают наименьших значений, равных :

Для общности предположим, что борновский член потенциала Юкавы имеет вид . Используя (2.29) и условие унитарности (2.31), мы можем написать уравнение для

Интегрирование ограничивается областью (2.33). Очевидно, что при функция так как для положительных s подынтегральный корень больше нуля, когда (см. (2.34), где Для положительности необходимым условием является требование

или

Поэтому при положительных , если t лежит в интервале следует интегрировать по t' и t" в пределах от до . А в этом случае функция определена предыдущей итерацией. Нетрудно понять, что после n итераций функция точно определена на отрезке . Следовательно, представления (2.29) и условия унитарности (2.31) амплитуда рассеяния находится однозначно.

Таким образом, задачу рассеяния на суперпозиции потенциалов Юкавы мы переформулировали в терминах аналитических свойств амплитуды рассеяния и условия унитарности. Совокупность условий аналитичности и унитарности оказывается тем самым эквивалентной уравнению Щредингера.