§ 29. Количественная теория s-волн piN-рассеяния

Применение представлений Мандельстама к узлу -взаимодействия хорошо продемонстрировало его положительные и отрицательные стороны. К числу положительных черт следует отнести общую качественную картину -рассеяния и электромагнитных формфакторов нуклонов.

Однако построение даже такой картины потребовало использования ряда приближений, уточнение которых встречает большие трудности. Окончательные формулы для парциальных волн как правило, громоздки, так что сравнение результатов, полученных в рамках различных подходов, весьма затруднительно. Эти недостатки составляют отрицательную черту работ, использующих представление Мандельстама. Поэтому целесообразно сформулировать приближенную задачу, допускающую точное решение. Примером такой задачи могут служить уравнения для р-волнового взаимодействия -мезонов с фиксированным источником. Простота их состоит в том, что они включают только р-волны и не связаны с низшими и высшими парциальными амплитудами (Эдвардс, Мэтьюз ). Эта черта, присущая статическим уравнениям, сильно упрощает задачу о решении уравнений

29.1. Статические уравнения Чу-Лоу для s-волн piN-рассеяния.

Эти уравнения были найдены сразу же вслед за аналогичными уравнениями для -волн. Они имеют вид

Здесь — действительная фаза рассеяния в состоянии со значением полного изотопического спина — фурье-образ функции источника.

Из уравнений (29.1) следует, что функций могут расти бесконечности, но так, чтобы .

Если предположить, что сами функции убывают на бесконечности, то уравнениям (29.1) можно придать другую форму, а именно:

где

Из уравнения (29.2) легко получить неравенства

Сравнивая уравнения (29.1) и (29.2), мы видим, что в последних значения длин рассеяния положительны, в то время как в (29.1) они произвольны, будучи константами вычитания. Следовательно, предположение о степени роста функций на бесконечности вместе с условием двухчастичной унитарности (действительность фаз ) во многом определяет поведение функций при малых энергиях. Если вспомнить экспериментальные данные по длинам рассеяния (§ 22.5), то знаки указывают на необходимость рассматривать уравнения (29.1), т. е. уравнения с вычитанием. Это позволяет в свою очередь сделать некоторые заключения об асимптотическом поведении .

Двухчастичное условие унитарности для функций :

явно содержит неизвестную и непосредственно экспериментально не наблюдаемую функцию .

Если то из условия унитарности (29.4) следует, что функции на бесконечности убывают или стремятся к постоянным. Поэтому очевидно, что уравнение (29.1) допускает и более сильное убывание функции и т. е. рост самих функций . Ввиду отсутствия достаточно обоснованных априорных соображений о виде и целесообразно перейти к такойформулировке задачи, в которой функция и играла бы меньшую роль. Для этого запишем уравнения (29.1) на языке аналитических свойств функций , как это было сделано при изучении р-волновых уравнений (§ 22.4):

1) — аналитические функции комплексного переменного в плоскости с разрезами ,

Свойства функций , подчиняющихся уравнению (29.2), совпадают с таковыми для функций, удовлетворяющих уравнениям (29.1). Единственное отличие состоит в том, что условие (5) должно быть заменено следующим:

Ясно, что общими для уравнений (29.1), (29.2) нужно признать свойства (1) — (4). Совокупность свойств можно небольшим видоизменением обобщить так, чтобы им соответствовал еще ряд задач, помимо -волнового -рассеяния. Для этого ограничимся в свойстве (1) требованием мероморфности функций . Тогда можно привести два примера лагранжианов, для которых уравнения могут быть сформулированы в виде условий Ими являются лагранжианы, описывающие рассеяние нейтральных псевдоскалярных мезонов на источнике со спином :

и рассеяние заряженных скалярных мезонов на источнике с изотопическим спином (нуклон)

Оба эти лагранжиана линейны по мезонному полю а поэтому соответствующие им уравнения содержат полюсные члены. Возможность их появления учтена в измененном свойстве (1).

Рис. 63.

Условия допускают еще одно обобщение, в результате которого функция и не будет явно входить в формулировку задачи. Предварительно введем функцию от z, равную » так чтобы на верхнем берегу правого разреза она была положительна. Расположение знаков на остальных частях разрезов показано на рис. 63. Определенная так ветвь двухзначной функции будет чисто мнимой на отрезке

Отсюда легко установить, что для функции выполняются условия

так что действительна на интервале . Очевидно, что поэтому ниже обозначим . Предположим, далее, что — мероморфная функция комплексного переменного z. Определим новую функцию комплексного переменного z равенством

где — выбранная выше ветвь . Введенная так функция на верхнем берегу правого разреза совпадает с матричным элементом -матрицы и равна

Пользуясь равенствами (29.5) и предположением о мероморфности перенесем свойства функций на функции — мероморфные функции z в плоскости с разрезами

Условие (4) имеет одинаковый вид для функций по двум причинам. Во-первых, матрица кроссинг-симметрии подчиняется уравнению

В справедливости (29.8) для уравнения (29.2) легко убедиться прямым вычислением. Уравнение (29.8) имеет и общее обоснование на основе определения матрицы Во-вторых, функция четна по .

Обсудим свойства функций Первое из них является следствием принципа причинности, который позволяет доказать аналитичность амплитуды рассеяния в комплексной плоскости z. Требование мероморфности не вытекает из принципа причинности.

Оно возникло при переходе от и состоит в том, что — граничное значение некоторой мероморфной функции. Это ограничение на не очень жестко, так как каждая непрерывная функция может быть с любой точностью приближена рациональными функциями. Второе свойство означает, что действительны на интервале Оно отражает хорошо известный из квантовой механики факт нечетности фазы рассеяния как функцииимпульс а

Двухчастичное условие унитарности (свойство ) предполагается справедливым всюду при Строго говоря, такое предположение неверно уже при кинетической энергии пионов так как порог рождения дополнительного пиона соответствует энергии Однако из данных по фазовому анализу следует, что эта неупругость начинает сказываться только при энергии т. е. при (Овил и др. ). Поэтому, предполагая, что двухчастичное условие унитарности верно всюду, нужно иметь в виду наличие верхней границы применимости теории.

Наконец, последнее свойство (условие кроссинг-симметрии) уже неоднократно использовалось при изучении различных процессов. Для конкретного его применения, однако, необходимо, чтобы одна из амплитуд была известна как аналитическая функция комплексных переменных. Тогда, совершая аналитическое продолжение по этим переменным, можно получить вторую из амплитуд. Отсутствие теории сильных взаимодействий не дает возможности непосредственно проверить справедливость принципа кроссинг-симметрии. Косвенным подтверждением этому является выполнение для пион-нуклонного рассеяния вперед (§ 4). Условия кроссинг-симметрии не требуют для своей формулировки какого-либо конкрет ного вида взаимодействия, они непосредственно записываются на языке реакций (§§ 3, 8, 22) или свойств симметрии (§§ 8, 22), определяющих амплитуды процессов. Существует мнение о том, что они справедливы для всех видов взаимодействий (Вигнер ).

В рассматриваемой задаче условие кроссинг-симметрии используется как способ аналитического продолжения функций .

Условие унитарности ограничивает вид функций на правом разрезе. Условие кроссинг-симметрии переносит эти ограничения на левый разрез. Конкретный вид матрицы кроссинг-симметрии определяется квантовыми числами сталкивающихся частиц. В уравнениях (29.1), (29.2) двухрядная матрица соответствует изотопическому спину пионов и нуклонов .

Условия (1) — (4) были записаны в виде, который не зависит от числа функций . Поэтому, коль скоро задана матрица А можно ставить вопрос о нахождении соответствующих функций . Например, уравнения для -волн -рассеяния (§ 22) также могут быть сведены к условиям (1) — (4) с трехрядной или четырехрядной матрицами . Таким образом, условия (1) — (4) более общи, чем задача о -волнах -рассеяния. Способ нахождения функций изложен в приложении 6.

Возвращаясь к нашей задаче, отметим, что условие (4) приближенно. При энергии пионов поправки к правой части равенства за счет -волн достигают 30%. Следовательно, предел применимости теории определяется не только энергией, при которой еще справедливо условие унитарности, но зависит от точности выполнения условия кроссинг-симметрии (4).