§ 11. Дифференциальное приближение. Нейтральная модель

11.1. Метод дифференциального приближения.

Способ получения низкоэнергетических уравнений, свободных от недостатков уравнений Чу — Мандельстама, непосредственно вытекает из критического анализа последних.

Трудности, с которыми встречается вышеописанная схема, связаны с тем, что мы вынуждены использовать разложения . А по косинусам кроссинг-реакции в той области, где этого разложения вообще не существует (вне эллипса сходимости Лемана). При этом даже в низкоэнергетической части интеграла по кроссинг-разрезу (кроссинг-интеграла) при , где разложение

производится в области его сходимости (в эллипсе Лемана), первые два члена ряда (содержащие s- и р-волны), которыми ограничивается вышеописанная схема, очень плохо представляют разлагаемую функцию из-за того, что в этой нефизической области косинусы кроссинг-реакций (в полиномах Лежандра, по которым ведется разложение) принимают нефизические значения, много большие единицы.

Итак, задача состоит в том, чтобы выразить кроссинг-интегралы в уравнениях вида (9.5) через низшие парциальные волны, не используя плохо сходящихся разложений. Такой способ получения уравнений низкознергети-ческого пион-пионного рассеяния был предложен Ефремовым и др. (1960). Он использует тот хорошо известный факт, что если записать обычные д. с. не для парциальной волны, а для всей амплитуды рассеяния и положить угол рассеяния равным нулю, т. е. рассмотреть рассеяние вперед, то кроссинг-интеграл выразится через физические значения амплитуды кроссинг-реакции (косинусы углов рассеяния кроссинг-реакций ). Аналогично этому кроссинг-интегралы для производных по углу от амплитуд рассеяния вперед или назад также выражаются через кроссинг-амплитуды и их производные при

Здесь возникает возможность более широкой постановки задачи, выходящей за рамки низкоэнергетического приближения. Она основана на том, что в качестве основных объектов рассмотрения можно выбрать не парциальные волны, а амплитуды рассеяния вперед и назад (и их производные). На этом пути кроссинг-симметрия удовлетворяется точно, а те или иные приближения вводятся в условие унитарности. Ясно, что в околопороговой области, где амплитуда рассеяния сводится к низшей парциальной волне, можно использовать формулу типа (9.2)

В общем случае задача представления через амплитуду является достаточно сложной, однако в асимптотической области высоких энергий для ее приближенного решения можно воспользоваться моделями дифракционного рассеяния. Получаемая этим путем параметризация высокоэнергетических вкладов в дисперсионные

уравнения открывает принципиальную возможность установления связей между параметрами решений низкоэнергетических моделей и характеристиками высокоэнергетического рассеяния, имеющими четкий физический смысл.

Если же объектом рассмотрения считать парциальные волны, то унитарность в форме (9.2) не содержит приближений (в упругой области), а кроссинг-симметрия, взятая из рассеяния вперед, является хорошим приближением лишь в области, где малы отброшенные высшие парциальные волны.

В соответствии с общим планом изложения займемся сейчас изучением свойств низкоэнергетической дифференциальной аппроксимации на примере нейтральной модели. Если выразить низшие парциальные волны через значения и ее производных по с в точках что можно сделать, например, интегрируя выражение

по частям, а затем воспользоваться д. с. для амплитуд рассеяния вперед и назад и их производных по с, то мы получим спектральные представления для кроссинг-интегралы которых будут содержать только физические значения косинусов кроссинг-реакций Соответствующие разложения Лежандра хорошо сходятся, вследствие чего их аппроксимация первыми парциальными волнами не вносит больших погрешностей.