23.2. Границы спектральных функций.

Спектральные функции представления Мандельстама (23.1) действительны и в силу условия кроссинг-симметрии (21.15) подчиняются равенствам

Нижние пределы интегрирования в представлениях (23.1) соответствуют пороговым значениям переменных s, u. Что касается переменной t, то по ней интегрирование начинается со значений, меньших порогового (см. § 5.2) Ниже мы остановимся на этом свойстве подробнее. Точная форма областей, в которых заданы спектральные функции, определяется условием унитарности. Окончательный результат не зависит от изотопической и спиновой структуры Г-матрицы и определяется массами сталкивающихся частиц. Поэтому в формулах (23.1) вместо четырех функций можно рассмотреть только одну скалярную функцию, например, содержащую полюсные члены которую обозначим через , т. е.

В определении (23.6) сохранены факторы нормировки, соответствующие нуклонам, и -мезонам, .

Прежде чем использовать условие унитарности, напомним, что спектр масс состояний полной системы определяется законами сохранения, действующими в системе сталкивающихся частиц. Предполагая, что в процессе -взаимодействия сохраняются барионное число, странность и четность, в качестве полной системы возьмем такую последовательность состояний:

Рассмотрим условие унитарности в первом канале в двухчастичном (одномезонном) приближении, т. е. из всей совокупности состояний учтем только одно . Вклад от однонуклонного состояния связан с матричным элементом и отличен от нуля только в нефизической области. Тогда, используя определение (23.6) и условие унитарности имеем в с. ц. м.

Здесь W, q — полная энергия и импульс в с. ц. м. Они выражаются через s следующими соотношениями:

Двухчастичное условие унитарности во втором канале задается теми же уравнениями, что и в первом. Отличие состоит в том, что в формулах (23.7), (23.8) необходимо сделать замену (23.3).

Условие унитарности (23.7) справедливо в физической области . Определение границ спектральных функций требует продолжения по с на нефизические значения Для этого подставим в (23.7) д. с. для t при фиксированном s. Удобно вместо t использовать переменную с. Тогда

где для удобства антиэрмитовы части записаны под знаком одного интеграла, хотя они отличны от нуля в различных областях переменного z. Кроме того, содержит вклад от полюсного члена по u.

Далее рассуждения совершенно аналогичны тем, которые проводились при выводе спектральной унитарности в задаче о -рассеянии. Подставляя формулу (23.9) в (23.7) и повторяя выкладки (8.7) — (8.13), получим следующие выражения для спектральных функций:

Границы задания спектральных функций (23.11) можно выразить на языке переменных s, u, t. Для этого нужно представить z как функции s, u, t, что связано с конкретными значениями масс промежуточных состояний. Вычислим, например, границу спектральной функции соответствующую полюсному члену Она возникает от вклада второго слагаемого в подынтегральном выражении для . В этом случае

и из (23.11) следует, что уравнение границы имеет вид

Линия, определяемая уравнением (23.12), имеет асимптоты

Далее, установим границу спектральной функции соответствующую вкладу от антиэрмитовой части процесса III. Как отмечалось выше (§ 5.2), функция отлична от нуля уже при , т. е. в нефизической области процесса . Поэтому следует определять с помощью аналитического продолжения условия унитарности третьего канала на нефизические значения энергетической переменной t. Возможность такого продолжения для каждой из парциальных волн доказывается в Приложении 2 (Мандельстам ). Итак, для вычисления этой границы имеем и, снова используя (23.11), получаем уравнение

Аналогичным образом можно найти границу спектральной функции если использовать вторую из формул (23.10). Однако сначала укажем, что определяемые из двухчастичного условия унитарности в первом канале спектральные функции и не удовлетворяют условию кроссинг-симметрии (21.15).

Рис. 47.

Действительно, в этом приближении . Возникшая ситуация полностью напоминает картину вычисления спектральных функций задачи -рассеяния на основе двухчастичного условия унитарности в одном из каналов. Так же как и в задаче -рассеяния, можно получить ответ, удовлетворяющий требованию перекрестной симметрии, если рассмотреть двухчастичное условие унитарности в каждом из каналов I, II, III. При этом удобно воспользоваться установленным в § 8.4 соответствием границ спектральных функций и диаграмм Фейнмана (Мандельстам ). Тогда границы (23.12) и (23.13) спектральной функции соответствуют диаграммам а, б рис. 47. Диаграмма б входит в двухчастичное условие унитарности канала s. Она определяет асимптоту спектральной функции .

Однако с точки зрения третьего канала она является четырехчастичной и, следовательно, не входит в двухчастичное условие унитарности. Легко видеть, что

Рис. 48.

такие же замечания справедливы относительно диаграмм в, г, д. Приведем определяемые ими границы и асимптоты:

Остановимся на границе спектральной функции (рис. 48). Она состоит из двух кривых заданных уравнениями (23.15), (23.16).

Асимптоты линии совпадают с порогами реакций I и II. Условие унитарности приводит к тому, что обе переменные «и мне могут одновременно достигать наименьших значений . Асимптота границы спектральной функции определяется наличием -взаимодействия, что видно и из диаграммы б рис. 47. Как уже указывалось, -взаимодей-ствие должно играть важную роль в понимании -рассеяния (§ 22.5).

Представление Мандельстама не доказано до настоящего времени, хотя следствия из него широко применяются при анализе различных процессов. Ниже мы будем постулировать его справедливость, хотя существенно будут использоваться только свойства аналитичности . Напомним, что свойства аналитичности можно получить, исходя из теории возмущений для всех ее порядков, что было сделано Логуновым и др. (1963). Поэтому фактически используемые аналитические свойства могут быть обоснованы лучше, чем это кажется вначале.