§ 98. Осциллятор. Запаздывающие потенциалы поля осциллятора

1. В § 20 мы убедились, что поле произвольно сложной, но в целом нейтральной системы неподвижных электрических зарядов на больших расстояниях от этой системы весьма просто выражается с помощью вектора электрического момента этой системы. Теперь мы проведем аналогичные рассуждения для поля нейтральной системы движущихся зарядов, ограничиваясь для простоты случаем системы, расположенной в вакууме

Предположим, что заряды нашей системы находятся внутри некоторого объема V и за пределы этого объема не выходят. Пусть I означает линейные размеры объема V (например, расстояние между двумя его точками, наиболее удаленными друг от друга). Выберем внутри объема V произвольную точку О, которую будем условно называть центром нашей системы зарядов. Пусть, наконец, есть радиус-вектор, проведенный из О в точку наблюдения причем мы ограничимся рассмотрением лишь тех точек поля, расстояние которых от системы значительно больше ее размеров I:

Если по-прежнему обозначает радиус-вектор, проведенный из произвольной точки нашей системы в точку то

где есть расстояние от центра системы О (см. рис. 27 в § 20, в котором, однако, соответствует нашему теперешнему соответствует причем очевидно, что Пренебрегая вторыми и старшими степенями получаем

2. Рассмотрим сначала скалярный потенциал нашей системы зарядов. Под интегралом правой части уравнения (96.3) стоит функция расстояния

Выражая в ней через и разлагая в ряд Тейлора, получаем

Если размеры системы I, а вместе с тем и радиус-вектор достаточно малы, то в первом приближении можно ограничиться приведенными двумя членами разложения, отбрасывая члены с высшими степенями Оставляя рассмотрение условий, при которых это приближение законно, на конец параграфа и внося уравнение (98.2) в уравнение (96.3), получаем (при

В первом из этих интегралов можно вынести за знак интеграла от положения точки не зависящее. Так как интеграл

равен полному заряду системы в момент то ввиду предполагаемой нейтральности системы он обращается в нуль, а вместе с ним и весь первый член выражения для

Второй же интеграл ввиду независимости от х, у, z можно записать в следующей форме:

Интеграл

представляет собой, очевидно, значение вектора электрического момента системы в момент [см. уравнение (20.1), от которого уравнение (98.3) отличается только переходом от системы точечных зарядов к зарядам объемным].

Таким образом, скалярный потенциал равен

(индекс До мы отбрасываем). Это выражение можно записать в следующей окончательной форме:

где значок а у знака дивергенции отмечает дифференцирование по точке наблюдения Действительно, на основании (432) и (10

Далее, так как аргумент зависит от координат только через то

внося эти выражения в (98.4), убеждаемся, что это уравнение совпадает с непосредственно ему предшествующим.

В формуле (98.4) под можно понимать расстояние точки наблюдения от произвольной точки объема V, занимаемого нашей системой зарядов, ибо выбор положения «центра» системы О внутри этого объема никаким условием в предыдущем ограничен не был. Впрочем, это и непосредственно очевидно ввиду оговоренной малости размера I этого объема по сравнению с Существенно, что и значение вектора электрического момента произвольной нейтральной системы зарядов также от выбора точки О не зависит (это было уже доказано нами в § 20).

В случае независимости от времени формула (98.4) с помощью соотношения (432) может быть преобразована так, чтобы она совпадала с прежней формулой (8.11), определяющей потенциал статического диполя.

3. Перейдем теперь к векторному потенциалу А, выражаемому формулой (96.4). Разлагая подынтегральное выражение этой формулы по аналогии с формулой (98.2) в ряд Тейлора

мы можем ограничиться одним лишь первым членом этого разложения [в случае скалярного потенциала мы должны были сохранить второй член разложения, потому что интеграл

первого члена уравнения (98.2) обращался в нуль]. Тогда уравнение (96.4) дает

В случае замкнутых токов интеграл взятый по всему объему токов, тождественно равен нулю [см. в § 57 доказательство того, что из (57.7) следует стало быть, в рассматриваемом приближении равны нулю и вектор-потенциал и магнитное поле системы. В случае же незамкнутых переменных токов этот интеграл, вообще говоря, отличен от нуля и, как мы сейчас покажем, равен производной по времени электрического момента системы

Дифференцируя по времени уравнение (98.3) и воспользовавшись уравнением непрерывности

где означает дифференцирование по координатам точки (напомним, что от этих координат не зависит), получаем

Помножим это уравнение на произвольный единичный постоянный вектор а Тогда подынтегральное выражение можно будет преобразовать с помощью уравнений :

Таким образом,

Первый интеграл может быть с помощью теоремы Гаусса преобразован в интеграл по поверхности охватывающий объем Так как все электрические заряды, по условию, находятся внутри объема V, то через граничную поверхность токов не протекает, т. е. на ней поэтому

Так как предпоследнее равенство справедливо при любом выборе направления постоянного вектора а, то окончательно получаем

Наконец, внося это выражение в (98 5) и опуская у До индекс, получаем выражение для векторного потенциала

4. Итак, как скалярный, так и векторный потенциалы произвольной нейтральной системы на больших от нее расстояниях однозначно определяются вектором электрического момента этой системы. Простейшей такой системой является обыкновенный диполь — совокупность двух точечных зарядов противоположных знаков. В отличие от статического диполя диполь, момент которого изменяется во времени, часто называется осциллятором или вибратором. Таким образом, поле нейтральной системы зарядов на больших от нее расстояниях совпадает с полем осциллятора, момент которого равен моменту системы. Благодаря этому обстоятельству изучение поля осциллятора играет весьма важную роль в теории электричества. При известных условиях, которые мы сейчас рассмотрим, радиотелеграфную антенну можно заменить эквивалентным осциллятором, светящееся тело — совокупностью элементарных осцилляторов и

5. Формулы этого параграфа применимы лишь в том случае, если в разложении (98.2) и в аналогичном разложении подынтегрального выражения формулы для А можно пренебречь последующими членами разложения по сравнению с предыдущими. Рассмотрим теперь условия, при которых это приближение законно, причем достаточно будет ограничиться тем случаем, когда векторы имеют одинаковое направление. В этом случае и разложение (98.2) принимает более простой вид

причем

Дифференцирование сомножителей типа увеличивает показатель в знаменателе, так что при До последующими членами, получающимися при дифференцировании этих сомножителей, наверное можно пренебречь. Таким образом, весь вопрос о законности сделанных упрощений, как легко видеть, сводится к относительной величине членов типа

Предположим для простоты, что является периодической функцией времени:

Тогда по порядку величины дифференцирование по сведется к умножению на а отношение последовательных членов рассматриваемого разложения по порядку величины будет равно Таким образом, пренебречь последующими членами разложения по сравнению с предшествующими можно при условии Так как В! I, а где есть период колебаний, то это условие эквивалентно условию

совпадающему с уравнением (97.1). Таким образом, применимость формул настоящего параграфа ограничена, во-первых, условием (98.1) достаточной удаленности рассматриваемых участков поля от системы зарядов и токов, возбуждающей это поле, и, во-вторых, требованием, чтобы эта система удовлетворяла основному условию квазистационарности (97.1). Конечно, при этом условии поле системы будет квазистационарным лишь в непосредственной близости от нее, но никак не вдали.

6. Рассмотрим в заключение простейшую систему, эквивалентную осциллятору. С точки зрения электронной теории, простейшей формой осуществления осциллятора является совокупность одного электрона и одного протона, взаимное расстояние которых периодически изменяется во времени. В максвелловой макроскопической теории поля простейшей моделью осциллятора можно считать так называемый вибратор Герца: два металлических шарика заряды которых в каждый данный момент равны по величине и противоположны по знаку соединены проводом длины (рис. 80). Если считать вектор 1 направленным от К к К, то момент образованного этими зарядами диполя будет равен:

ибо, по определению, вектор направлен от отрицательного заряда к положительному. Если, зарядив вибратор, предоставить его самому себе, то в нем возникнут затухающие электрические колебания, аналогичные рассмотренным в § 89 колебаниям

Рис. 80

в цепи с конденсатором. Колебания эти будут сопровождаться периодическим перезаряжением шариков, т. е. периодическим изменением их зарядов по величине и по знаку. В этом случае момент вибратора можно положить равным

где есть постоянный вектор, направленный по оси вибратора, некоторая периодическая затухающая функция времени.

Сила тока в вибраторе равна, очевидно, скорости изменения величины зарядов если мы условимся считать ток положительным при совпадении его направления с вектором 1, то откуда

Эта формула является частным случаем общей формулы (98.6) в применении к системе, которую приближенно можно уподобить отрезку прямолинейного тока, и может быть легко получена из (98.6) с помощью соотношения (44.1):

7. Если электрический момент системы равен нулю или постоянен во времени, то поле излучения системы определяется отброшенными нами ранее старшими членами разложения величин по степеням В качестве простейшего примера такой системы рассмотрим систему переменных, но замкнутых токов, т. е. переменных токов, удовлетворяющих условию

Согласно уравнению непрерывности в этом случае т. е. распределение зарядов, а стало быть, и электрический момент системы неизменны во времени. Скалярный потенциал поля системы также постоянен и нас интересовать не будет. Что же касается векторного потенциала поля системы, то, ограничиваясь в разложении по степеням [см. формулу, следующую за уравнением (98.4)] первым из членов, интеграл которого при отличен от нуля, получаем

Выполняя дифференцирование по получаем

Интеграл первого члена суммы совпадает по форме со вторым членом формулы (57.2). В § 57 было показано, что если в формуле (57.2) распространить интегрирование на весь объем токов [т. е. удовлетворить условию (57.7)], то первый член этой

формулы обращается в нуль, а второй, согласно (57.8), выражается через магнитный момент системы токов. Соответственно этому интеграл первого члена суммы в (98.11) равен

где означает магнитный момент системы

Второй член подынтегрального выражения в (98.11) получается из первого дифференцированием по и умножением на Поэтому, опуская индекс , получаем окончательно:

Так как скалярный потенциал рассматриваемой системы равен нулю, то не только магнитное, но и электрическое поле системы выражается через векторный потенциал А, т. е. определяется вектором магнитного момента системы. Такая система называется магнитным диполем или магнитным осциллятором. Простейшая система, эквивалентная такому осциллятору, — замкнутый проволочный контур, в котором возбуждается переменный ток. В отличие от линейного, незамкнутого вибратора Герца такой контур в радиотехнике называется рамкой.

В том случае, если система обладает как переменным электрическим, так и переменным магнитным моментом, полем последнего на больших расстояниях обычно можно пренебречь по сравнению с полем электрического момента. Действительно, выражая в (98.12) плотность тока через скорость и плотность электрических зарядов получаем

тогда как электрический момент системы равен

Поэтому, если только благодаря специальным особенностям системы ее электрический момент не очень мал, то по порядку

величины Так как даже истинная (а не только средняя) скорость электронов в большинстве случаев гораздо меньше с, то и