§ 61. Векторный потенциал магнитного поля при наличии магнетиков. Средняя плотность объемных и поверхностных молекулярных токов

1. Разложив, согласно (60.1), полную плотность в произвольной среде на плотность токов проводимости и плотность токов молекулярных мол: мы получаем следующее выражение для вектор-потенциала магнитного поля:

Вводя обозначения и А для векторных потенциалов токов проводимости и токов молекулярных

можно написать

В эти выражения входят истинные микроскопические плотности токов, тогда как в макроскопической теории мы должны оперировать средними значениями микроскопических величин и должны, следовательно, соответственно преобразовать выражения (61.1).

Среднее значение по физически бесконечно малому объему есть, очевидно, та плотность токов с которой только и оперирует макроскопическая теория, не вводящая явно в рассмотрение молекулярных токов:

Таким образом, в макроскопической теории мы можем в выражении для попросту заменить на

Соответственно этому для определения среднего значения вектор-потенциала молекулярных токов А нужно выразить среднее значение плотности молекулярных токов через величины, с которыми оперирует макроскопическая теория, а именно через намагничение. Проще, однако, следующим образом непосредственно вычислить среднее значение вектора А.

Векторный потенциал системы замкнутых токов при условии достаточной малости ее пространственных размеров равен, согласно (57.8), где есть магнитный момент системы.

С другой стороны, магнитный момент элемента объема магнетика, характеризующий циркулирующие в нем молекулярные токи, согласно (60.2) и (60.4), равен Поэтому векторный потенциал поля, возбуждаемого элементом объема магнетика, равен

где радиус-вектор, проведенный из элемента объема в ту «точку наблюдения», в которой определяется значение вектор-потенциала.

Наконец, векторный потенциал А всей совокупности молекулярных токов, циркулирующих во всех элементах магнетика, определится интегралом

который, очевидно, можно распространить на все бесконечное пространство (ибо вне магнетиков Таким образом, векторный потенциал А поля молекулярных токов полностью определяется намагничением среды

2. Целесообразно несколько преобразовать последнее выражение. Согласно уравнениям (43) и (10)

и, следовательно, последнее уравнение может быть записано так:

Последний интеграл может быть преобразован с помощью соотношения векторного анализа (56 в интеграл по поверхности охватывающей объем интегрирования V:

Если в поле нет поверхностей разрыва вектора намагничения I, то последний интеграл может быть взят по бесконечно удаленной поверхности, охватывающей полное поле, и обращается при этом в нуль (если намагничение I исчезает в бесконечности быстрее, чем

В противном же случае поверхностный интеграл придется, как обычно, распространить еще на поверхность выделяющую из объема интегрирования V поверхность разрыва вектора

Стягивая поверхность вплоть до совпадения с поверхностью разрыва и повторяя с незначительными изменениями рассуждения, приведенные нами в § 12, убедимся, что

где — значения I по обеим сторонам поверхности разрыва, нормаль к этой поверхности, направленная от 1 к 2. Обозначая эту нормаль через получим

Таким образом, полный векторный потенциал А магнитного поля в произвольной среде выражается в микроскопической теории через макроскопическую плотность токов и через вектор I, характеризующий намагничение среды:

3. Сравним макроскопическое выражение (61.6) для векторного потенциала А молекулярных токов с тем, которое получается из микроскопического выражения (61.1) для А путем непосредственного усреднения его, т.е. путем замены в (61.1) микроскопической плотности средним ее значением по физически бесконечно малому объему:

Сравнение это показывает, во-первых, что средняя плотность объемных молекулярных токов следующим образом связана с намагничением среды:

во-вторых, из этого сравнения следует, что допущение существования поверхностей разрыва вектора намагничения эквивалентно допущению существования наряду с объемными также и поверхностных молекулярных токов, средняя плотность которых пропорциональна поверхностному ротору I:

Действительно, при этом допущении выражение (61.8) нужно дополнить членом, учитывающим поверхностные токи:

в результате чего это выражение на основании (61.9) и (61.10) становится эквивалентным (61.6).

Конечно, само допущение о возможности существования поверхностей разрыва физических величин и поверхностных токов характерно для макроскопической трактовки поля и совершенно чуждо микроскопической теории.

Выражение (61.9) для средней плотности молекулярных токов, как и следовало ожидать, удовлетворяет условию замкнутости токов, ибо, согласно

Далее, выражение для средней поверхностной плотности молекулярных токов совпадает с тем, которое может быть получено из выражения их объемной плотности путем предельного перехода типа (49.7).

Заметим, что в равномерно намагниченных средах средняя плотность молекулярных токов, согласно уравнению (61.9), равна нулю. Действительно, если смежные элементы объема среды намагничены совершенно одинаково, то в ней нигде не может иметь место преобладание токов какого-либо одного определенного направления. На границе же намагниченных магнетиков и вакуума, согласно уравнению (61.10), имеются поверхностные токи плотности ибо в вакууме

Уравнения (61.9) и (61.10), устанавливающие связь между распределением молекулярных токов и пространственными производными вектора намагничения (а также скачком его касательных слагающих на поверхностях разрыва), получены были нами довольно окольным путем. Было бы желательно получить их непосредственно из основного уравнения (60.2), определяющего вектор намагничения I и выражающего значение I через В § 67 мы проведем соответствующие вычисления при некоторых упрощающих предположениях.

4. В качестве примера рассмотрим цилиндрический магнит, равномерно намагниченный по всему объему параллельно своей оси. Средняя плотность объемных молекулярных токов всюду будет равна нулю, ибо при имеем На основаниях цилиндра поверхностных молекулярных токов также не будет, ибо нормаль к этим основаниям параллельна Нормаль же к боковой поверхности цилиндра перпендикулярна к I и поэтому плотность поверхностных молекулярных токов на боковой поверхности цилиндра будет отлична от нуля и будет численно равняться

(в формуле (61.10) полагаем ибо вне магнита

Эти замкнутые круговые поверхностные токи составляют правовинтовую систему с направлением намагничения

Таким образом, с точки зрения электронной теории, магнит эквивалентен цилиндрическому соленоидальному току (см. § 49). При этом из сравнения уравнения (61.11) с уравнением (49.14) следует, что сила тока в соленоиде, эквивалентном данному магниту, может быть определена из равенства

где число витков соленоида на единицу его длины. Происхождение поверхностных токов на границе магнетика и вакуума может быть пояснено путем весьма простых рассуждений. Весьма схематически рис. 63 изображает собой поперечный разрез магнита. Совокупность молекулярных токов внутри магнита может быть схематически представлена как совокупность токов одинаковой силы, обтекающих каждую ячейку (молекулу) магнита в одинаковом направлении, например против часовой стрелки. Внутри магнита токи смежных молекул взаимно компенсируются, на поверхности же магнита они складываются в круговой ток, обтекающий магнит по окружности.

Рис. 63

Чтобы уточнить это рассуждение в количественном отношении, рассмотрим тонкий слой магнита, заключенный между двумя плоскостями, перпендикулярными к его оси. Если высота этого слоя равна I, сечение объем а сумма магнитных моментов молекул, в нем находящихся, равна то

Выражая с помощью уравнения (56.2) магнитный момент каждой молекулы через силу и площадь соответствующего молекулярного тока, получаем

где нами для простоты предположено, что все молекулярные токи линейны и силы их одинаковы. Магнитный момент молекул не изменится, если мы так изменим силу тока и площадь молекулярных токов, чтобы их произведение осталось постоянным. Подберем эти величины в соответствии с рис. 63 так, чтобы смежные молекулярные токи непосредственно прилегали друг к другу. Тогда будет численно равна площади сечения магнита и

Отношение силы тока протекающего по поверхности рассматриваемого слоя, к высоте этого слоя I равно по определению поверхностной плотности тока Таким образом, последнее уравнение совпадает с уравнениями (61.11) и (62.12).