§ 37. Условия стационарности токов. Уравнение непрерывности. Нити тока

1. Электрическое поле постоянных токов, как и поле электростатическое, является полем потенциальным в смысле § 7. В частности, вектор напряженности этого поля Е удовлетворяет условию (7.3) и может быть выражен через градиент потенциала:

Действительно, в поле постоянных токов распределение зарядов в пространстве должно оставаться стационарным, т. е. неизменным во времени, ибо если бы имело место какое бы то ни было перераспределение зарядов, то напряженность поля неизбежно должна была бы измениться, и ток перестал бы быть постоянным. Но если распределение зарядов стационарно, то поле их должно быть тождественно с электростатическим полем соответственно распределенных неподвижных зарядов; то обстоятельство, что в данной точке пространства одни элементы заряда благодаря наличию тока сменяются другими, не может сказываться на напряженности электрического поля, поскольку плотность зарядов в каждой точке пространства остается постоянной Стало быть, стационарное поле постоянных токов, как и поле электростатическое, должно быть полем потенциальным.

2. Из стационарности распределения зарядов в поле постоянных токов вытекает, что токи эти необходимо должны быть либо замкнутыми, либо уходить в бесконечность, ибо, в противном

случае, в месте начала (истоков) и окончания (стоков) тока происходило бы с течением времени накопление и убывание зарядов. По той же причине через различные сечения проводника (если только между этими сечениями нет разветвлений проводника) должен протекать ток одинаковой силы. Наконец, в каждой точке разветвления цепи тока, в которой соприкасаются между собой два или вообще проводников, несущих соответственно токи должен удовлетворяться так называемый первый закон Кирхгофа, согласно которому алгебраическая сумма сил токов, притекающих к точке разветвления цепи, должна равняться нулю:

в противном случае в точке происходило бы накопление электрических зарядов. При этом для всех проводников, соприкасающихся в точке положительное направление тока должно быть, конечно, выбрано одинаковым образом, т. е. совпадающим либо с направлением к точке либо с направлением от точки (рис. 37).

Рис. 37

3. Самое общее условие стационарности токов и поля может быть получено следующим образом. Согласно (36.3) интеграл по произвольной замкнутой поверхности должен равняться алгебраической сумме сил токов, проходящих через отдельные элементы этой поверхности, т. е. должен равняться количеству электричества, выходящего за единицу времени из ограниченного поверхностью объема V (если есть внешняя нормаль к ). С другой стороны, согласно лежащему в основе теории электричества закону сохранения электричества,

количество электричества, вышедшего за 1 с за пределы объема V, должно равняться убыли за тот же промежуток времени заряда находящегося внутри этого объема. Таким образом, мы приходим к равенству

Это весьма важное уравнение, по установившейся терминологии, носит название уравнения непрерывности и является математическим выражением постулата сохранения количества электричества. К этому уравнению нам еще придется вернуться в дальнейшем. В интересующем же нас здесь случае постоянных токов распределение зарядов стационарно, т. е. так что уравнение непрерывности принимает вид

4. Если внутри объема V, ограниченного поверхностью нет поверхностей разрыва вектора (подобные разрывы, вообще говоря, могут иметь место лишь на поверхностях соприкосновения двух различных сред), то (37.3) можно преобразовать с помощью теоремы Гаусса (17:

Ввиду произвольности объема интегрирования V отсюда следует, что

Это уравнение является наиболее общим выражением того факта, что постоянный ток не имеет истоков, т. е. что линии тока всегда замкнуты либо уходят в бесконечность (ср. сказанное о силовых линиях электрического поля в § 10). При этом под линиями тока нужно, очевидно, понимать линии вектора т. е. линии, касательные к которым совпадают с направлением вектора в точке касания.

На поверхности соприкосновения двух различных сред вектор плотности тока может испытывать разрыв непрерывности.

Однако нормальная к поверхности слагающая этого вектора должна быть одинаковой по обеим сторонам поверхности разрыва, ибо в противном случае количество электричества, притекающее к одной стороне этой поверхности, не было бы равно количеству электричества, вытекающему с другой ее стороны. Следовательно,

где плотности тока в первой и второй средах, нормаль к поверхности их соприкосновения. Если проводник граничит с непроводящей средой, то в ней следовательно, нормальная к поверхности слагающая плотности тока в проводнике также должна равняться нулю:

5. Благодаря замкнутости постоянных токов их можно разложить на совокупность бесконечно тонких замкнутых (или уходящих в бесконечность) нитей тока. С этой целью выберем произвольную площадку внутри проводника и проведем через все точки контура этой площадки линии тока. Образованная совокупностью этих линий цилиндрическая поверхность и выделит из объема проводника так называемую нить тока. Так как через боковую поверхность такой нити электричество, очевидно, не протекает, то сила тока во всех сечениях каждой нити должна быть постоянной, т. е.

где под надо понимать перпендикулярное к сечение нити тока. Так как, далее, линии тока, а стало быть, и поверхности нитей тока пересекаться нигде не могут (ибо в каждой точке пространства, в которой направление линии тока однозначно определяется направлением вектора то каждая нить тока должна замыкаться сама на себя (т. е. быть замкнутой) либо идти из бесконечности в бесконечность (см. примечание к с. 56).

6. В случае постоянных токов, как и в электростатике, макроскопическая плотность (свободных) зарядов внутри однородных проводников равна нулю, ибо при из (37.4) следует:

Задача 21. Пространство между обкладками шарового конденсатора (радиусы заполнено проводящей средой удельной электропроводности А. Найти силу тока, проходящего через конденсатор, если его обкладки поддерживаются при постоянной разности потенциалов и показать, что сопротивление находящегося между обкладками шарового слоя равно

Задача 22. Показать, что на поверхности раздела двух проводников линии тока испытывают преломление, причем

где угол между линией тока в первой среде и нормалью к поверхности раздела, электропроводность первой среды, а и — соответствующие величины для второй среды (ср. задачу 16, § 22).

Задача 23. Показать, что нормальная слагающая электрической индукции у поверхности проводника определяется уравнением

также и в том случае, если по проводнику протекает постоянный ток, но что векторное уравнение (22 10) в этом случае перестает быть справедливым.