§ 14. Двойной электрический слой

Результаты этого параграфа понадобятся нам лишь в связи с рассмотрением двойных магнитных слоев, или листков, в гл. IV, так что чтение этого параграфа можно отложить до соответствующего места.

Рис. 20

1. Пусть две весьма близкие и параллельные друг другу поверхности (рис. 20) заряжены электричеством противоположного знака, и притом так, что плотности зарядов о и а на противолежащих элементах обеих поверхностей равны по величине и противоположны по знаку положим для определенности, что Если расстояние между исчезающе мало по сравнению с расстоянием этих поверхностей до рассматриваемых точек поля, то совокупность

поверхностей называется двойным электрическим слоем. Потенциал этого слоя в некоторой точке поля согласно (12.11), будет равен

где суть соответственно расстояния точки от элемента положительно заряженной поверхности и от противолежащего ему элемента отрицательной поверхности Но есть приращение обратного значения радиуса-вектора проведенного от рассматриваемого элемента двойного слоя в точку при перемещении начальной точки вектора от отрицательной поверхности к положительной. Пусть есть направление нормали к двойному слою, от отрицательной его стороны к положительной, и пусть I — толщина слоя (расстояние между Повторяя рассуждения, приведшие нас в § 8 к формуле (8.11), убедимся, что при

Подставив это в предшествующее уравнение и вводя обозначение

получим

Таково окончательное выражение потенциала двойного слоя в котором предполагается, что радиус-вектор проведен от слоя в исследуемую точку поля Величина равная произведению плотности заряда поверхности слоя на толщину слоя, называется мощностью или моментом слоя; мы будем пользоваться первым термином, сохраняя второй для обозначения другого понятия (см. гл. IV).

2. На основании (10 подынтегральное выражение в формуле (14.2) можно представить в виде

С другой стороны, согласно (3.2),

где телесный угол, под которым элемент двойного слоя виден из точки Что же касается знака, то в рассматриваемом случае в отличие от считается направленным от элемента к точке стало быть, будет положительным, если из точки видна положительная сторона элемента двойного слоя и отрицательным в обратном случае направлено по условию от отрицательной к положительной поверхности слоя). Условимся считать телесный угол положительным, если из видна положительная сторона элемента и отрицательным в обратном случае. Тогда уравнение (14.2) можно будет записать проще:

3. Если мощность слоя постоянна на всем его протяжении — такой слой называется однородным, то потенциал его принимает вид

где под нужно понимать алгебраическую сумму телесных углов, под которыми видны элементы поверхности двойного слоя из точки Если все эти элементы поверхности видны из с одной и той же, например положительной, стороны, то абсолютная величина равна, очевидно, тому телесному углу, под которым виден из весь двойной слой, или, что то же самое, под которым виден из контур этого слоя. Если же весь слой в целом этому условию не удовлетворяет, то его всегда можно разложить на несколько частей, этому условию удовлетворяющих. Ввиду этого содержание уравнения (14.4) можно выразить следующим образом: потенциал однородного двойного слоя в точке равен произведению мощности слоя на взятый с надлежащим знаком телесный угол О, под которым виден из контур этого слоя.

4. Особенно просто выражается потенциал замкнутого двойного слоя (например слоя, расположенного по поверхности сферы). Как было показано в § 3, всякая замкнутая поверхность видна под углом из всех точек, лежащих внутри этой поверхности, и под углом из всех внешних точек (см., в частности, рис. 3). Стало быть, потенциал замкнутого двойного слоя равен нулю во всем внешнем пространстве и равен во всех точках, охватываемых слоем; знак потенциала зависит от того, какая сторона слоя (положительная или отрицательная) обращена внутрь. Таким образом, напряженность поля замкнутого слоя равна нулю (ибо потенциал же поля испытывает при прохождении через поверхность слоя скачок .

Существенно, что точно такой же скачок Акт испытывает и потенциал любого незамкнутого слоя при прохождении через его поверхность. Чтобы убедиться в этом, дополним мысленно рассматриваемый слой до полной замкнутости вторым слоем равной мощности. При бесконечно малом перемещении точки наблюдения с одной стороны исходного слоя на другую потенциал находящегося на конечном расстоянии дополнительного слоя остается практически постоянным, тогда как потенциал замкнутого слоя в целом (исходный слой плюс дополнительный) изменяется на Стало быть, скачок этот равен скачку потенциала исходного слоя.

Итак, потенциал всякого (как замкнутого, так и незамкнутого) двойного слоя испытывает на его поверхности скачок очевидно, что скачок этот направлен от отрицательной стороны слоя к положительной, т. е. что потенциал слоя возрастает при прохождении через слой по направлению положительной нормали Иными словами, двойной слой является поверхностью разрыва сплошности потенциала, так что если есть значение потенциала у отрицательной, а — у положительной стороны слоя, то

5. Строго говоря, о скачке потенциала на поверхности разрыва можно говорить лишь в отношении бесконечно тонких двойных слоев; толщиной же реальных электрических слоев можно пренебречь лишь на достаточно больших расстояниях от них. Однако если толщина слоя мала по сравнению с требуемой точностью измерения расстояния, то в ряде случаев удобно пользоваться представлением о бесконечно тонком слое, несмотря на то, что, как указывалось на с. 67, напряженность поля на поверхностях разрыва потенциала обращается в бесконечность, т. е. теряет физический смысл. Пользуясь результатами следующего параграфа, можно, кроме того, показать (что мы предоставляем сделать читателю), что электрическая энергия двойного слоя конечной мощности в пределе, при бесконечно малой его толщине, тоже стремится к бесконечности.

Впрочем, мы в дальнейшем вовсе не будем пользоваться представлением о двойном электрическом слое и, соответственно этому, будем всегда предполагать, что непрерывность электрического потенциала нигде не нарушается. Теория же двойного электрического слоя изложена нами здесь лишь для того, чтобы подготовить изучение двойных магнитных слоев в гл. IV.

Заметим далее, что на каждой из заряженных поверхностей, составляющих в совокупности двойной слой, производная испытывает, согласно (12.9), скачок Однако скачки эти равны по величине и противоположны по знаку, так что при

переходе с одной стороны слоя на другую а вместе с тем и остаются непрерывными.

6. Заметим, что потенциал двойного слоя может быть непосредственно определен из формулы (12.6) Если есть поверхность разрыва потенциала, то первый член правой части этой формулы

не обращается в нуль. Обозначив, согласно (14.5), скачок потенциала через и приняв во внимание, что

мы непосредственно приходим к формуле (14.2).

7 Упомянем в заключение в качестве примера об одном случае, когда пользование понятием двойного электрического слоя может оказаться удобным. При прохождении тока через электролит при известных условиях (зависящих от материала электрода, химической природы электролита и т. д.) наблюдаются явления так называемой поляризации электродов (не смешивать с поляризацией диэлектриков, о которой будет идти речь в следующей главе: сила проходящего через электролит тока при неизменной разности потенциалов, приложенной извне к электродам, с течением времени уменьшается и может упасть практически до нуля.

Явление это можно истолковать следующим образом. Предположим, что ионы, являющиеся носителями тока в электролите, например анионы (отрицательные ионы), подойдя к притягивающему их положительному электроду, не отдают ему своего заряда, как это бывает обычно, а лишь располагаются слоем у поверхности этого электрода Этому слою заряженных отрицательных ионов будет противостоять слой положительных зарядов на поверхности положительного электрода (рис. 21). Таким образом, у этой поверхности образуется двойной электрический слой, заряд и мощность которого будут расти до тех пор, пока скачок потенциала в этом слое не станет равным приложенной извне разности потенциалов Тогда ток через раствор прекратится, ибо все изменение потенциала будет сосредоточено лишь в тонком двойном слое у положительного электрода, во всей же остальной толще раствора потенциал примет постоянное значение и напряженность поля станет равной нулю (электростатическое равновесие) На нижней части рис. 21 нанесены значения потенциала на различных расстояниях от электродов до образования двойного слоя (ординаты сплошной линии) и после его образования (штриховая линия).

Рис. 21

Таким образом, образование двойного слоя может обусловить поляризацию электродов. Впрочем, это явление может обусловливаться также и рядом причин иного рода.