§ 16. Энергия электрического поля

1. Выражение электрической энергии (15.6) может быть представлено в другой математической форме, причем преобразование это открывает возможности совершенно новой физической интерпретации соотношений.

Чтобы подготовить это преобразование, положим в теореме Грина Приняв во внимание, что получим

где поверхностный интеграл должен быть распространен, во-первых, по поверхности ограничивающей извне объем интегрирования V, и во-вторых, по поверхностям выделяющим из этого объема могущие лежать в нем заряженные поверхности т. е. поверхности разрыва градиента (ср. § 12). Что же касается потенциала то мы будем считать его всюду непрерывным, т. е. отказываемся от рассмотрения двойных электрических слоев.

Как и при выводе формулы (12.6), стягиваем поверхности вплоть до совпадения их с поверхностями разрыва повторяя прежние рассуждения и пользуясь обозначениями § 12, получим (полагая )

или ввиду (12.7)

Внося это выражение в предшествующее уравнение, разделив обе его части на и переставив члены, получим

Первые два члена правой части этого равенства аналогичны выражению (15 6) для энергии однако интегрирование распространено в данном случае не по всем находящимся в поле зарядам, а лишь по тем из них, которые находятся внутри объема Сумма этих членов не совпадает со взаимной энергией зарядов, находящихся внутри V, ибо потенциал зависит также и от расположения зарядов вне V

2. Предположим, однако, что интегрирование распространено по полному полю, под этим выражением понимается, что область интегрирования V охватывает, во-первых, все взаимодействующие заряды и, во-вторых, все поле этих зарядов

Это определение не нуждается в пояснениях, если существует замкнутая поверхность конечных размеров, охватывающая всю систему взаимодействующих зарядов, во всех точках которой напряженность поля обращается в нуль; эта поверхность и может рассматриваться как граница полного поля Так, например, граница полного поля зарядов, заключенных в металлической оболочке (см. рис. 14), проходит внутри этой оболочки.

Однако большей частью такой замкнутой поверхности конечных размеров не существует, и граница полного поля отодвигается в бесконечность. В этих случаях понятие полного поля должно быть уточнено следующим образом. В каждом конкретном случае использования этого понятия нас интересуют значения интегралов вполне определенных физических величин (например, напряженности электрического или магнитного поля, произведения в формуле (16.1) и причем объемные интегралы берутся по объему полного поля, а поверхностные — по его границе Термин «полное поле» применяется к бесконечному объему V в том и только в том случае, если при предельном переходе от конечного объема V к бесконечно большому интегралы всех интересующих нас величин по поверхности этого объема стремятся к нулю. Так как при этом предельном переходе площадь поверхности растет как где означает расстояние поверхности от конечного участка пространства, в котором сосредоточены источники поля (электрические заряды и токи), то подынтегральные выражения в интересующих нас поверхностных интегралах должны при убывать быстрее, чем В этом и заключается условие применимости понятия полного поля (если поле не ограничено замкнутой поверхностью конечных размеров).

В дальнейшем мы для краткости будем просто говорить, что по определению понятия полного поля интегралы по ограничивающей полное поле поверхности обращаются в нуль, т. е. могут быть отброшены, и что, стало быть, подлежат рассмотрению только интегралы по объему полного поля.

3. Подынтегральное выражение в последнем члене формулы (16.1), согласно (12.10), убывает в бесконечности не медленнее, чем Поэтому при распространении интегрирования в формуле (16.1) на полное поле этот член обратится в нуль, а сумма первых двух членов, согласно (15.6), окажется равной полной энергии поля

4. Итак, электрическая энергия полного поля равна

С математической точки зрения это уравнение представляет собой лишь преобразованную форму уравнения (15.6) и ему эквивалентно. Однако формально математическое преобразовав ние уравнений, как уже указывалось, весьма часто открывает возможность совершенно новой физической интерпретации выражаемых ими соотношений. Уравнение (16.2) выражает электрическую энергию в виде бесконечной суммы слагаемых, каждое из которых равно и относится к определенному элементу объема Поэтому в это уравнение можно вложить следующий физический смысл: носителем электрической энергии является электрическое поле, причем энергия поля локализована в пространстве так, что в каждой единице объема содержится количество энергии равное

где напряженность электрического поля в данном элементе объема. Величина может быть названа объемной плотностью электрической энергии.

Напротив, уравнения (15.4) и (15.5) могут быть формально истолкованы в том смысле, что электрическая энергия есть энергия взаимодействия электрических зарядов и притом взаимодействия на расстоянии (actio in distans, дальнодействие); так, например, уравнение (15.5) выражает общую энергию системы зарядов в виде суммы энергий взаимодействия каждой пары. Очевидно, что при таком истолковании устраняется возможность локализации энергии в определенных участках пространства.

Механическая теория электромагнитных явлений вкладывала в уравнения (16.2) и (16.3) следующее физическое содержание. С точки зрения этой теории возбуждение электрического поля сводится к возникновению деформаций гипотетической упругой среды — эфира; электрический вектор есть мера этой деформации, а энергия электрического поля есть не что иное, как упругая энергия деформированного эфира. Как известно из теории упругости, в каждом элементе объема деформированного тела заключается определенное количество упругой энергии, пропорциональное квадрату величины деформации этого элемента. Стало быть, объемная плотность упругой энергии эфира в электрическом поле должна быть пропорциональной квадрату напряженности поля что вполне согласуется с (16.3).

В настоящее время можно считать установленным, что подобное механическое истолкование электрических явлений не выдерживает критики фактов. Но представление о локализации

электрической энергии в пространстве с объемной плотностью иными словами, представление о том, что электрическая энергия есть энергия электрического поля, сделалось прочным достоянием науки. Конечно, благодаря полной математической эквивалентности уравнений (15.6) и (16.2) оба эти уравнения, а стало быть, и оба приведенных истолкования их одинаково хорошо согласуются с данными опыта. Однако эквивалентность этих уравнений имеет место лишь в постоянном электрическом поле. Перейдя к изучению переменных электромагнитных полей и, в частности, к изучению электромагнитных волн, мы познакомимся с явлениями, которые могут быть истолкованы лишь на основе допущения о локализации энергии в электромагнитном поле.

5. Обратимся теперь к вопросу о различном содержании уравнений (15.4) и (15.5), с одной стороны, и уравнений (15.6) и (16.2) — с другой. Что эти уравнения разнятся по своему содержанию, явствует хотя бы из того обстоятельства, что энергия определяемая уравнением (16.2), не может принимать отрицательных значений (ибо тогда как, согласно (15.5), энергия взаимодействия двух точечных зарядов отрицательна, если заряды эти разноименны. Объясняется это тем, что в уравнениях (15.4) и (15.5) учитывается лишь взаимодействие ряда «точечных» зарядов, но не взаимодействие отдельных элементов каждого такого заряда между собой. Действительно, если мы имеем дело, например, с одним единственным «точечным» зарядом то выражения (15.4) и (15.5) обратятся в нуль, тогда как выражения (15.6) и (16.2) будут иметь отличное от нуля и притом положительное значение, равное так называемой собственной энергии заряда В том, что эта собственная энергия всегда положительна, можно убедиться либо непосредственно из уравнения (16.2), либо из того обстоятельства, что, приписывая заряду некоторый объем, разбивая его на элементы и вычисляя энергию взаимодействия этих элементов, мы получим сумму положительных выражений типа (ибо все элементы одного и того же заряда имеют одинаковый знак). Собственная энергия заряда зависит, конечно, от его размеров и равна той работе, которую совершили бы силы взаимного отталкивания между элементами заряда, если бы эти элементы разлетелись в стороны и удалились в бесконечность.

Рассмотрим в заключение полную (т. е. собственную и взаимную) энергию двух зарядов Пусть каждый из этих зарядов в отдельности возбуждает соответственно поле так что результирующее поле обоих зарядов равно

и

Полная энергия зарядов согласно (16.2), будет равна

или

где

суть собственные энергии зарядов а

есть их взаимная энергия. Из

следует, что

так что

Таким образом, положительная собственная энергия зарядов всегда больше (или в крайнем случае равна) их взаимной энергии, могущей иметь как положительные, так и отрицательные значения.

Справедливость этого положения явствует, впрочем, и непосредственно из того обстоятельства, что собственная энергия заряда соответствует взаимодействию его собственных элементов, среднее расстояние которых друг от друга меньше, чем расстояние их от элементов другого заряда.

При всех возможных перемещениях зарядов, не изменяющих их формы и размеров, собственная энергия зарядов остается постоянной. Поэтому при этих перемещениях члены можно считать аддитивными постоянными в выражении полной энергии изменение которой всецело определяется изменением взаимной энергии зарядов При достаточно больших расстояниях между зарядами выражение (16.6) для сводится, очевидно, к выражению (15.2) (см. задачу 15 в конце параграфа).

6. Чрезвычайно важно отметить, что энергия электрического поля не обладает свойством аддитивности, т. е. что энергия поля являющегося суммой полей вообще говоря, не равна сумме энергий слагаемых полей (если только не равно нулю). В частности, при возрастании напряженности поля в раз энергия поля возрастает в раз.

Пример. Полная электрическая энергия системы заряженных проводников. Пусть в поле расположено проводников;

обозначим соответственно через поверхность, потенциал и общий заряд проводника. Приняв во внимание, что все заряды проводников расположены на их поверхности, так что и что потенциал каждого проводника постоянен на всем его протяжении, получим из (15.6)

Интеграл и по поверхности проводника равен его общему заряду поэтому

Эту формулу, выражающую полную энергию заряженных проводников, не нужно смешивать с вполне аналогичной формулой (15.4), выражающей взаимную энергию точечных зарядов; в последней формуле в отличие от не является полным потенциалом поля в месте нахождения заряда (см. § 15). Заметим, что выражение (15.9) для энергии конденсатора является частным случаем формулы (16.7).

Задача 14. Показать, что (собственная) электрическая энергия заряженного шара радиуса о равна

если заряд распределен по поверхности шара (проводник), и равна 2

если заряд равномерно распределен по всему объему шара.

Задача 15. Показать, что если расстояние между зарядами достаточно велико по сравнению с их размерами (точечные заряды), то выражение (16.6) взаимной энергии этих зарядов сводится к выражениям (15.2) и (15.3).