§ 89. Конденсатор в цепи квазистационарного тока. Электрические колебания

1. До сих пор мы рассматривали лишь квазистационарные токи в замкнутых проводящих контурах; теперь в качестве примера мы несколько подробнее рассмотрим цепь с включенным в нее конденсатором.

Пусть С — емкость конденсатора, сопротивление цепи, соединяющей его обкладки, самоиндукция той замкнутой цепи тока, которая получается из данной путем замыкания обкладок конденсатора отрезком помещенного между ними провода.

Предположим, что сила тока одинакова во всех сечениях цепи (в проводах это ток проводимости, между обкладками конденсатора — ток смещения), и выберем определенным образом положительное направление тока (стрелка на рис. 77).

Рис. 77

Пусть суть заряды обкладок конденсатора, причем Допустим, что емкость конденсатора настолько превышает емкость остальной цепи, что последней можно вовсе пренебречь, и что общая энергия электрического поля практически равна энергии того участка этого поля, который заключается между обкладками конденсатора. Если поле удовлетворяет условиям квазистационарности, то в каждый данный момент значение этой энергии должно находиться в той же зависимости от мгновенного значения заряда конденсатора, как и в статическом случае; аналогичное положение будет применимо и к зависимости магнитной энергия от силы тока в цепи. Стало быть, общая электромагнитная энергия системы должна быть равна [уравнения (15.9) и (79.6)]:

Чтобы получить дифференциальное уравнение, определяющее силу тока при разряде конденсатора, примем во внимание, что количество выделяющегося в цепи тока джоулева тепла должно равняться убыли электромагнитной энергии системы:

С другой стороны, применяя уравнение непрерывности (37.2) к замкнутой поверхности, охватывающей одну из обкладок конденсатора (см. рис. 77), легко убедиться, что при сделанном нами выборе положительного направления тока сила этого тока должна равняться убыли заряда первой пластины конденсатора и приращению заряда второй его пластины:

Внося это в предшествующее уравнение и сокращая его затем на получим

Дифференцируя это уравнение по и применяя вновь уравнение (89.2), получим окончательно

Если же мы выразим значение электромагнитных величин не в абсолютных, а в практических единицах, то фактор исчезнет (ср. § 80), и мы получим

2. Уравнение (89.5) имеет хорошо известный вид уравнения затухающих периодических колебаний; его общее решение выражается формулой

где произвольные постоянные интегрирования, корни квадратного уравнения

т. е.

Если подкоренное выражение не отрицательно, то оба числа вещественны и отрицательны (ибо абсолютное значение корня меньше значения первого члена), так что разряд конденсатора будет апериодическим. Если же подкоренное выражение отрицательно, то комплексны. Введя обозначение

получим в этом случае

и

Выражая через тригонометрические функции, легко привести вещественную часть этого выражения к виду

где некоторые новые постоянные, значение которых зависит от Стало быть, в этом случае в цепи циркулирует периодический затухающий ток циклической частоты Период колебаний этого тока, т. е. промежуток времени между последовательными моментами прохождения силы тока через нуль в одинаковом направлении (т. е., например, от отрицательных значений к положительным), равен

При условии

вторым членом выражения (89.6) можно пренебречь, так что последнее равенство сводится к известной формуле Томсона:

Быстрота затухания силы тока определяется отношением за время одного полного периода сила тока уменьшается в раз. Логарифм этого множителя

носит название логарифмического декремента колебаний.

3. Электрические колебания в цепи с конденсатором вполне аналогичны колебаниям тела, удерживаемого около положения равновесия упругими силами. Заряжая конденсатор, или выводя тело из положения равновесия, мы сообщаем системе известный запас потенциальной энергии (электрической или упругой). При разряде конденсатора и при колебаниях тела эта потенциальная энергия переходит соответственно в «электрокинетическую» энергию магнитного поля и в кинетическую энергию движущегося тела. Однако, когда заряд конденсатора становится равным нулю (тело проходит через положение равновесия), ток не спадает сразу до нуля (тело не останавливается), а благодаря своего рода электромагнитной инерции (мерой которой является коэффициент самоиндукции, ср. с. 368) продолжает в течение некоторого времени течь в прежнем направлении. Благодаря этому конденсатор перезаряжается (тело удаляется от положения равновесия), после чего процесс разряда повторяется в обратном направлении. Сопротивление цепи, которым обусловливается затухание электрических колебаний, конечно, вполне аналогично трению.

Учение об электрических колебаниях играет чрезвычайно важную роль в целом ряде отраслей электротехники и в связи с этим настолько развилось, что представляет собой, в сущности, особый отдел общего учения об электричестве. Не имея возможности входить в подробное изложение этих вопросов, мы принуждены отослать читателя к специальным сочинениям.

4. В заключение покажем, что уравнение (89.4), выведенное нами на основании энергетических соображений, может быть получено также и из закона Ома [уравнение (35.4)]. Применяя уравнение (35.4) к соединяющему обкладки конденсатора проводу по которому циркулирует ток проводимости (см. рис. 77),

получим

Но

ибо циркуляция электрического вектора по замкнутому контуру равна электродвижущей силе индукции. Здесь означает отрезок, дополняющий до замкнутости контур Что же касается последнего интеграла, то в электростатическом поле он равнялся бы разности потенциалов обкладок конденсатора В переменном поле, как мы убедились в § 86, понятие потенциала теряет смысл, ибо к потенциальному кулонову полю электрических зарядов присоединяется вихревое поле индукции.

Однако предположение о квазистационарности поля тока, циркулирующего в конденсаторной цепи, включает в себя, в частности, предположение, что электрическое поле вблизи конденсатора находится в той же зависимости от мгновенного значения его заряда, как и в случае статическом. Иными словами, предполагается, что по крайней мере между обкладками конденсатора напряженность вихревого поля, индуцированного изменениями поля магнитного, исчезающе мала по сравнению с напряженностью кулонова поля зарядов конденсатора. С другой стороны, из смысла последнего уравнения явствует, что входящий в него интеграл должен быть взят по кратчайшему пути, соединяющему обкладки конденсатора, т. е. по пути, лежащему между этими обкладками. Следовательно, в случае квазистационарного тока интеграл этот можно положить равным той разности потенциалов которая существовала бы между обкладками конденсатора в статическом случае. Стало быть,

Выразив в этом уравнении через заряд и емкость конденсатора [уравнение (9.1)], а через мы вновь придем к уравнению (89.4).

Заметим, что уравнение (89.9) вполне аналогично закону Ома для постоянных токов [уравнение (38.5)], причем играет роль «сторонних» электродвижущих сил.

Задача 36. К концам почти замкнутого «потребляющего» участка цепи II (см. рис. 74, с. 398) приложено извне заданное переменное напряжение (пользуемся практической системой единиц). Сторонних электродвижущих сил в этом участке цепи нет, но в него включен конденсатор

емкости Показать, что сила тока в цепи равна

причем амплитуда тока равна

а сдвиг фазы тока по отношению к фазе напряжения определяется соотношением

Примечание 1. Эти соотношения остаются справедливыми и в случае замкнутой цепи, ток в которой возбуждается периодическими изменениями потока магнитной индукции внешнего магнитного поля; чтобы перейти к этому случаю, достаточно в приведенных формулах заменить на

Примечание 2. Из выражения для явствует, что при заданном амплитуда тока достигает максимума при , т. е. при

Если логарифмический декремент собственных колебаний цепи мал, то это условие соответствует приближенному равенству (циклической) частоты внешних возбуждающих сил и частоты собственных колебаний цепи [уравнения (89.6) и (89.7)]. Таким образом, цепь с конденсатором и самоиндукцией, как и всякая система с собственным периодом колебаний, обнаруживает при возбуждении ее внешними периодическими силами явление резонанса. Как известно, этими явлениями резонанса широко пользуются в электротехнике вообще и радиотехнике в частности.