§ 88. Токи смещения

1. Обратим теперь внимание на то чрезвычайно существенное обстоятельство, что при уравнение непрерывности (87.1) несовместимо с уравнением магнитного поля токов (62.7):

Действительно, согласно последнему уравнению, пропорционально вихрю вектора Но дивергенция вихря всегда равна нулю [уравнение (422)], тогда как, согласно уравнению (87.1), вообще говоря, нулю не равна.

Подобно этому, эквивалентное уравнению (62.7) или (47.3) уравнение (47.5)

неприложимо к токам переменным уже по одному тому, что сила незамкнутых токов, протекающих через опирающуюся на контур поверхность существенно зависит не только от контура но и от формы и расположения поверхности В частности, в случае незамкнутых токов нередко можно провести поверхность так, чтобы она вовсе не пересекала несущих ток проводников (рис. 75, где изображена цепь переменного тока, включающая в себя конденсатор С).

Итак, уравнения магнитного поля постоянных токов, полученные нами в гл. IV, вообще говоря, неприложимы к переменным токам и нуждаются в видоизменениях и дополнениях.

2. Основываясь на убеждении в справедливости уравнения непрерывности (87.1), можно попытаться путем чисто формальных математических рассуждений определить простейший вид поправки, внесение которой в формулу (62.7) устранит указанное противоречие между этой формулой и формулой (87.1).

Рис. 75

До сих пор мы исходили из того, что электрические токи представляют собой движение электрических зарядов по проводникам и что плотность их, согласно уравнению (38.1), определяется значением коэффициента электропроводности проводника Естр).

Будем отныне называть эти токи токами проводимости и допустим, что помимо них могут существовать также и токи некоторого иного рода, которые мы будем называть токами смещения (смысл этого названия выяснится в дальнейшем). Плотность полного тока будет, стало быть, равна сумме плотностей тока проводимости и тока смещения

Предположим при этом, что истинная зависимость вектора от отличается от уравнения (62.7) только в том отношении, что пропорционален не а плотности полного тока, :

Иными словами, предположим, что в магнитном отношении токи смещения эквивалентны токам проводимости, т. е. возбуждают магнитное поле по тем же законам, что и токи проводимости.

Взяв дивергенцию от обеих частей последнего уравнения, мы на основании получим

Таким образом, поле полного тока должно быть лишено истоков, т. е. линии полного тока не могут нигде ни начинаться, ни

кончаться и должны быть замкнутыми либо уходить в бесконечность (либо, наконец, должны всюду плотно заполнять некоторую поверхность, см. § 53). Следовательно, там, где обрываются линии тока проводимости, к этим линиям должны непосредственно примыкать продолжающие их линии тока смещения.

Далее, из последнего равенства на основании уравнения (87.1) следует:

Но, согласно уравнению (22.2),

Следовательно,

3. Самый простой, хотя, конечно, и не единственный, способ удовлетворить этому равенству состоит в том, чтобы положить

т. е. положить, что плотность тока смещения в каждой точке поля пропорциональна скорости изменения вектора электрической индукции D. Согласно этому определению ток смещения может иметь место не только в проводниках, но и в диэлектриках и даже в вакууме, однако в стационарном поле ток этот всегда будет равен нулю. Уравнение же (88.2) примет вид

При (88.5) совпадает с уравнением (62.7), так что все результаты, полученные нами ранее из уравнений (62.7) и (47.3), остаются в силе для полей стационарных.

Итак, вводя чисто формальным образом гипотезу о существовании токов смещения, мы можем устранить противоречие между уравнениями (87.1) и (62.7), не внося при этом никаких видоизменений в законы стационарного электрического поля.

Опыт полностью подтверждает справедливость как этой гипотезы, так и уравнения (88.5), являющегося одним из основных уравнений электродинамики. Как мы увидим в дальнейшем, наиболее убедительным доказательством этого уравнения является самый факт распространения электромагнитных волн.

4. Чтобы уяснить физический смысл уравнений (88.4) и (88.5), рассмотрим случай, когда полный ток сводится к току смещения, т. е. когда ток проводимости равен нулю (непроводящая среда,

В этом случае уравнение (88.5) примет вид

Это уравнение вполне аналогично уравнению

Из уравнения (88.6) следует, что, подобно тому как электрическое поле может возбуждаться не только электрическими зарядами, но и изменениями поля магнитного (т. е. изменениями вектора магнитной индукции В), так в свою очередь и магнитное поле может возбуждаться не только движениями зарядов (токи проводимости), но и изменениями поля электрического (вектора электрической индукции

Исходя из этой аналогии между уравнениями (85.3) и (88.6), величину можно было бы назвать плотностью магнитного тока смещения.

Рис. 76

Заметим, что правые части уравнения (88.6) и (85.3) имеют различные знаки. Обусловливается это отличие тем, что силовые линии магнитного поля возбуждаемого токами смещения составляют с направлением этих токов правовинтовую систему, тогда как направления векторов находятся в обратном соотношении (рис. 76; рис. 70 на с. 357).

5. Отметим в заключение, что с современной точки зрения, токи проводимости, с одной стороны, и токи смещения в вакууме, с другой стороны, несмотря на сходство названий, представляют собой, в сущности, совершенно различные физические понятия. Единственная общая их характеристика

заключается в том, что они одинаковым образом возбуждают магнитное поле, т. е. одинаковым образом входят в правую часть уравнения (88.5). Во всех же остальных отношениях эти токи резко отличаются друг от друга.

Самое существенное отличие заключается в том, что токи проводимости соответствуют движению электрических зарядов, тогда как «чистый» ток смещения — ток смещения в вакууме — соответствует лишь изменению напряженности электрического поля и никаким движением электрических зарядов или каких-либо других частиц вещества не сопровождается. Действительно, в вакууме и уравнение (88.4) принимает вид

При наличии диэлектрика, на основании уравнений (20.6) и (22.1) уравнение (88.4) принимает вид

Таким образом, ток смещения в диэлектрике складывается из «чистого» тока смещения , с движением зарядов не связанного, и из члена учитывающего движение зарядов, связанных с молекулами диэлектрика, и с микроскопической точки зрения являющегося, в сущности, составной частью тока проводимости например, уравнение в последнем из наших равенств означает скорость движения заряда

Упомянем еще о том, что токи смещения, в отличие от токов проводимости, не сопровождаются выделением джоулева тепла. В случае токов смещения в вакууме это самоочевидно. Как будет доказано в § 92, это положение строго справедливо также в применении к токам смещения в диэлектриках, диэлектрическая проницаемость которых не зависит от температуры (квазиупругие диполи). Что же касается диэлектриков с постоянными диполями, то, как указывалось в § 31, изменение поляризации диэлектриков этого класса сопровождается некоторым выделением или поглощением тепла. Стало быть, и токи смещения в них сопровождаются тепловыми эффектами. В переменных полях высокой частоты это влечет за собой выделение заметных количеств теплоты в диэлектрике, которое, однако, подчиняется совершенно иным закономерностям, чем выделение джоулева тепла в проводниках.

6. Обратимся теперь к вопросу о том, в какой мере существование токов смещения нарушает правильность тех заключений, к которым мы пришли в предшествующих параграфах этой главы. Заметим, прежде всего, что внутри проводников, в частности

внутри металлов, плотность токов смещения обычно настолько мала по сравнению с плотностью токов проводимости:

что без ущерба для точности вычислений ими можно вообще пренебречь.

Предположим, например, что мы имеем дело с периодическим током частоты так что

В этом случае условие эквивалентно требованию

Для ртути проводимость чистых твердых металлов в 10-50 раз больше: для них

Ввиду столь большого значения А условие (88.8) выполняется в металлах для всех частот, применяемых в технике (в том числе и в радиотехнике), и нарушается лишь в области частот, соответствующих инфракрасной части спектра. Однако при этих частотах начинает играть существенную роль зависимость материальных констант и А от частоты поля (дисперсия), так что уравнения Максвелла, не учитывающие возможности такой дисперсии, перестают быть применимыми.

Совершенно иной характер имеет вопрос о том, можно ли пренебречь по сравнению с током проводимости теми токами смещения, которые возникают в окружающей проводник непроводящей среде. В большинстве технически интересных случаев это оказывается допустимым при условии, что проводники образуют собой замкнутую цепь. Если же в проводящей цепи тока имеются разрывы, например, если в нее включен конденсатор (см. рис. 75), то током смещения в пространстве между обкладками конденсатора пренебречь никак нельзя. Действительно, полный ток всегда лишен истоков и стоков [уравнение поэтому общая сила тока смещения, протекающего через конденсатор, равна силе тока в подводящих к нему проводах. Впрочем, в случае включенного в цепь конденсатора электрическое поле тока,

а стадо быть, и ток смещения концентрируются между обкладками конденсатора. Поэтому с известным приближением цепь с конденсатором можно уподобить замкнутой проводящей цепи; иными словами, вычисление самоиндукции цепи, магнитного поля тока и т. д. можно вести так, как если бы между обкладками конденсатора циркулировал ток проводимости такой же силы, как и в подводящих к нему проводах (ибо в магнитном отношении ток смещения эквивалентен току проводимости). Таким образом, наличие конденсатора в цепи переменного тока непосредственно сказывается лишь на электрическом, но не на магнитном поле тока (см. § 89).

Иное дело, если мы имеем совершенно разомкнутую проводящую цепь, например прямолинейный проводник конечной длины (антенна). В этом случае токи смещения будут, вообще говоря, распределены по всему окружающему проводник пространству, и о замкнутости цепи говорить не приходится. Наконец, при достаточно быстрых электрических колебаниях и достаточной длине проводника (сравнимой с длиной электрической волны) сила тока проводимости может оказаться неодинаковой в различных сечениях проводника (даже если этот проводник замкнут и лишен разветвлений). Если, несмотря на это, при известных условиях и окажется возможным при определении магнитного поля пренебречь полем токов смещения, то все же подобные токи проводимости постоянным токам уподоблены быть не могут и условиям квазистационарности не удовлетворяют.

Во всяком случае, достаточная медленность изменений поля является необходимым условием того, чтобы можно было пренебречь токами смещения (сила которых пропорциональна быстроте изменения поля) и считать токи проводимости замкнутыми.