§ 83. Определение пондеромоторных сил магнитного поля из выражения энергии

1. В § 66 мы определили пондеромоторные силы, испытываемые магнетиками в магнитном поле, исходя из определенных представлений о молекулярном строении магнетиков. Теперь мы дадим более общий вывод выражения пондеромоторных сил магнитного поля, исходя из выражения магнитной энергии (81.3) и рассматривая изменение этой энергии при бесконечно малом виртуальном перемещении находящихся в поле тел. Если при этих виртуальных перемещениях оставлять силу токов проводимости постоянной, то, согласно уравнению (79.9), изменение магнитной энергии при этих перемещениях будет равно работе а механических сил:

С другой стороны, работа эта, очевидно, равна

где есть плотность пондеромоторных сил. Следовательно,

Вычислив из этого соотношения, можно, очевидно, определить и искомое значение плотности сил

Энергия магнитного поля может быть выражена одним из следующих уравнений (81.3) и (81.1):

Эти выражения энергии, как неоднократно указывалось, справедливы лишь при отсутствии ферромагнетиков; следовательно, все наши выводы будут применимы лишь к диа- и парамагнитным средам.

Все дальнейшие выкладки весьма аналогичны вычислениям, проведенным нами при определении пондеромоторных сил электрического поля. В частности, мы предположим, что поверхностей разрыва в поле нет и что объем интегрирования охватывает полное поле, так что все поверхностные интегралы, с которыми мы будем встречаться в дальнейшем, обратятся в нуль.

2. Изменение энергии поля при произвольном бесконечно малом перемещении находящихся в нем тел равно

или

где суть изменения соответствующих величин, обусловленные перемещением

Так как то Порядок выполнения операций дифференцирования и варьирования может быть изменен без нарушения результата, так что

Следовательно,

Далее, на основании (44 и (62.7)

Внося это в выражение для и воспользовавшись теоремой Гаусса (17, получаем

Согласно условиям, сформулированным в начале параграфа, поверхностный интеграл в этом выражении обращается в нуль. Наконец, ввиду того, что приращение энергии можно, очевидно, представить также в следующей форме:

Таким образом, вычисление сведено нами к определению изменения плотности токов проводимости и магнитной проницаемости среды при виртуальном перемещении находящихся в поле тел.

3. Локальное изменение выразится, очевидно, формулой, аналогичной выражению для формулу (32.9)]:

где означает плотность среды (массу единицы объема).

Что касается виртуального изменения плотности тока то оно может быть определено из того отмеченного в начале параграфа условия, что при виртуальном перемещении сила тока через произвольную поверхность должна оставаться постоянной (если только эта поверхность перемещается вместе со средой).

Пусть через произвольную поверхность до смещения протекает ток

При смещении может, во-первых, измениться на плотность тока в различных точках поверхности во-вторых, может деформироваться контур этой поверхности, благодаря чему увеличится или уменьшится ее общая площадь. Если означает элемент контура то при смещении этот элемент опишет площадку (см. § 50, в частности рис. 50). Приращение охватываемой контуром площади сводится к сумме площадок описанных всеми его элементами Следовательно, долженствующее обращаться в нуль полное изменение тока через произвольную испытывающую деформацию поверхность равно

Преобразуя последний интеграл по теореме Стокса [уравнение (27], получаем

Внося это в предшествующее равенство ввиду произвольности поверхности получаем окончательно.

4. Внося приведенные значения — и в выражение для получаем

На основании уравнения (44

причем последний член может быть преобразован следующим образом:

Далее,

Внося эти значения в выражение для и принимая во внимание, что объемный интеграл дивергенции может быть преобразован в интеграл по поверхности и поэтому, согласно нашему условию, обращается в нуль, получаем

Сравнивая это выражение с выражением (83.1) и приняв во внимание, что является произвольной функцией точки, получаем следующее выражение для плотности пондеромоторных сил:

Таким образом, пондеромоторные силы слагаются из сил плотности действующих на обтекаемые током проводники и совпадающих с прежней формулой (65.1), и из сил плотности

действующих на находящиеся в поле магнетики.

5. Нетрудно показать, что плотность сил совпадает с ранее выведенным выражением (66.6). Последнее выражение, как отмечалось в § 66, справедливо лишь для слабо намагничивающихся магнетиков (ср. § 32). В этом случае, согласно (69.5) и (70.4), величина пропорциональна числу молекул в единице объема среды, т. е. пропорциональна плотности среды Стало быть,

где с есть некоторая постоянная, от плотности среды не зависящая. Следовательно,

и

Внося это в уравнение (83.4), получаем

что действительно полностью сорпадает с уравнением (66.6).

6. Если в формуле (83.4) заменить В на и выполнить простые преобразования, то она принимает вид

совершенно аналогичный выражению (32.12) пондеромоторных сил, испытываемых диэлектриками в электрическом поле: формула (83.5) получается из (32.12) заменой на на

В этом обстоятельстве проявляется отмеченный в конце § 73 факт, что благодаря эквивалентности элементарных токов и магнитных диполей вся макроскопическая теория магнетиков может быть одинаково успешно интерпретирована как на основе современной теории, так и с точки зрения старых теорий магнетизма, исходивших из предположения о существовании в магнетиках реальных магнитных зарядов (диполей), т. е. из предположения о полном соответствии между электрическими свойствами диэлектриков и магнитными свойствами магнетиков. Именно, с точки зрения этих теорий существует соответствие между векторами и между величинами ей тогда как в действительности вектору соответствует не вектор а вектор а диэлектрической проницаемости соответствует не

Отметим, что Максвелл и ряд других авторов (например, Абрагам, Кон и др.) не принимали во внимание зависимости магнитной восприимчивости от плотности среды, благодаря чему выражение пондеромоторных сил в магнетиках, которым они пользовались, отличалось от (83.5) отсутствием первого члена, т. е. стрикционных сил:

Впрочем, совершенно так же, как и в случае диэлектриков (см. § 32 и 34), можно показать, что неучитывавшаяся Максвеллом слагающая плотности сил сказывается лишь на распределении пондеромоторных сил по объему магнетика, тогда как равнодействующая и результирующий момент стрикционных сил приложенных ко всем элементам объема какого-либо тела, либо равны нулю (если это тело находится в вакууме), либо уравновешиваются гидростатическим давлением, возникающим под воздействием магнитного поля в окружающей тело жидкой или газообразной среде (см. также § 84).