§ 107. Приближенная теория быстропеременных токов. «Уравнение телеграфистов»

1. Исследование различных случаев распространения волн вдоль проводников связано, вообще говоря, с известными математическими трудностями. Поэтому в электротехнике быстрых токов при рассмотрении подобного рода вопросов прибегают иногда к упрощенному и, в сущности, весьма нестрогому способу рассуждений, который, однако, при определенных условиях, относящихся к конфигурации проводников и частоте волн, приводит к правильным результатам. Состоит этот способ в следующем.

Чтобы применить к быстропеременным токам, в сущности, вовсе неприменимую к ним теорию токов квазистационарных, рассматривают не всю цепь тока в целом, а отдельные малые ее участки длины и предполагают, что теория квазистационарных токов применима к каждому такому отдельному участку.

Если есть сопротивление единицы длины проводника, то для отрезка длины закон Ома в той его форме, которая применима к постоянным токам:

может быть записан следующим образом:

ибо равно разности потенциалов на концах отрезка В приближенной теории, о которой идет речь, предполагается, что для переменных токов справедливо аналогичное соотношение

отличающееся от предшествующего лишь последним членом, учитывающим электродвижущую силу индукции [ср. уравнение (78.2)]. В этом члене означает «самоиндукцию единицы длины проводника» (ср. § 81, с. 380), a - самоиндукцию отрезка При этом делается допущение, что и в случае переменного поля, не обладающего потенциалом, первый член правой части приведенного уравнения имеет определенный физический смысл, а именно, что этим членом учитывается мгновенное кулоново поле электрических зарядов проводника. Далее, предполагается, что мгновенное значение потенциала этих зарядов определяется соотношением

где ни С суть соответственно заряд и емкость единицы длины проводника [ср. уравнение (9.2)]. На основании этого соотношения уравнение (107.1) по сокращении на может быть записано следующим образом:

Чтобы исключить из этого уравнения величину воспользуемся уравнением непрерывности. Пусть участок проводника ограничен сечениями координаты которых обозначим соответственно через Сила тока в проводе будет, вообще говоря, изменяться по его длине, т. е. будет функцией координаты z. Если за единицу времени через сечение протекает единиц электричества, то через сечение будет протекать единиц. Стало быть, величина заряда находящегося в рассматриваемом участке провода, уменьшается за единицу времени на единиц, откуда следует:

Дифференцируя (107.2) по и затем исключая из него получим окончательно

Это и есть искомое приближенное уравнение неквазистационарного переменного тока. Если С от 2 не зависит, то (107.3) принимает вид

Это последнее уравнение носит название уравнения телеграфистов и применяется в технике, например, при расчете

распространения телеграфных сигналов по проводам, распределения токов в антеннах и т. д.

2. Как вытекает из изложенного, приведенный вывод уравнения (107.3) основан на ряде допущений, которые, вообще говоря, действительности не соответствуют. Сами понятия емкости и самоиндукции единицы длины не имеют однозначного смысла, ибо, например, потенциал данной точки проводника, даже при стационарном распределении зарядов, должен зависеть не только от линейной плотности зарядов х в этой точке, но и от распределения зарядов по всей длине проводников. Можно, однако, показать, что если поперечные размеры I системы проводников удовлетворяют неравенствам

где А — электропроводность проводников, их магнитная проницаемость, и если проводники достаточно прямолинейны то уравнения (107.3) представляют собой хорошее приближение к действительности.

На общем рассмотрении этого вопроса мы останавливаться не будем и ограничимся тем, что покажем применимость уравнения (107.4) к частному случаю цилиндрического кабеля, рассмотренному нами в предыдущем параграфе.

3. Предположим, что величины постоянны вдоль всего провода. Рассмотрим переменный ток частоты

где от не зависит. Внося это выражение в уравнение (107.4), сокращая его затем на и умножная на С, получаем

где

Общее решение этого уравнения есть

где суть произвольные постоянные интегрирования, определяющие амплитуды двух волн, распространяющихся по проводу во взаимно противоположных направлениях. Достаточно,

очевидно, рассмотреть одну из этих волн, т. е. положить, например, в этом случае сила тока в кабеле равна:

Полагая

где к к вещественны, получаем из (107.5):

Таким образом, имеют одинаковые знаки; для определенности выберем для них знак положительный. Внося (107.7) в (107.6), получаем

откуда следует, что коэффициент затухания волны равен а ее фазовая скорость равна

Наконец, из (107.8) получаем

При определении зависимости величин от необходимо иметь в виду, что омическое сопротивление проводника быстропеременным токам, согласно (90.16) и (90.5), прямо пропорционально квадратному корню из частоты тока следовательно,

где от из не зависит.

Предоставляем читателю доказать, что как фазовая скорость распространения волн так и их коэффициент затухания монотонно возрастают с частотой волны из и что при достаточно больших частотах, удовлетворяющих условию

величины эти приближенно равны

Таким образом, при фазовая скорость стремится к постоянному пределу, тогда как коэффициент затухания возрастает как

Для того чтобы по возможности уменьшить искажение речи при телефонировании по проводам на дальние расстояния, необходимо обеспечить выполнение в области акустических частот условия (107.12), ибо при этом условии достигается независимость фазовой скорости волн от частоты (коэффициент же затухания неизбежно возрастает с частотой). На практике выполнение условия (107.12) обеспечивается обыкновенно повышением самоиндукции линии путем включения в нее на известных промежутках специальных катушек самоиндукции (так называемые пупиновы катушки).

4. Нам остается показать на примере цилиндрического кабеля, что расчет быстропеременных токов в нем с помощью уравнения телеграфистов (107.4) совпадает с результатами, полученными нами в § 106 на основе более строгой теории.

Нетрудно убедиться, что в любом сечении кабеля в любой момент времени быстропеременный ток, текущий по внутреннему проводу, должен быть равен по величине и противоположен по направлению току, текущему по внешней обкладке кабеля. Поэтому к рассматриваемому случаю применимы результаты решения примера 2 в § 81, откуда следует, что самоиндукция единицы длины идеального кабеля должна выражаться уравнением (81.9)

С другой стороны, обкладки кабеля образуют собой цилиндрический конденсатор, емкость которого на единицу длины, согласно (9.2), равна

если в пространстве между цилиндрами нет диэлектрика, и,

стало быть, равна

если между цилиндрами находится среда диэлектрической постоянной Таким образом,

Далее, сопротивление единицы длины кабеля слагается из сопротивления обоих его проводов и, согласно (90.16), равно

где суть соответственно проводимость и магнитная восприимчивость внутреннего и внешнего проводников кабеля. Внося эти значения в уравнения (107.13), справедливые при достаточно больших частотах [условие (107.12)], получаем

что действительно полностью совпадает с (106.16).