§ 38. Сторонние электродвижущие силы. Квазилинейные токи. Второй закон Кирхгофа

1. Существеннейшее отличие стационарного поля постоянных токов от поля электростатического заключается в том, что для поддержания первого необходима непрерывная затрата энергии, тогда как в электростатическом поле никаких превращений энергии не происходит. Действительно, как мы видели, электрический ток, т. е. перенос электричества по проводникам под воздействием сил электрического поля, сопровождается работой этих сил, причем эквивалентное этой работе количество энергии выделяется в форме так называемого джоулева тепла. Ввиду стационарности поля постоянных токов вся энергия, выделяющаяся в цепи тока, должна непрерывно возмещаться за счет других видов энергии — механической (динамо-машины), химической (гальванические элементы, аккумуляторы), тепловой (термоэлементы) и т. д. Иными словами, для поддержания постоянного тока необходимо, чтобы в известных участках цепи тока действовали электродвижущие силы неэлектростатического происхождения (индукционные, контактные на поверхностях соприкосновения различных проводников, термоэлектрические и т. д.); их работой и компенсируется затрата электрической энергии, выделяющейся в форме джоулева тепла.

Если бы все действующие в цепи ЭДС сводились к силам электростатического поля, т. е. к силам кулоновым, то под воздействием этих сил положительные заряды проводников стекались бы из мест большего потенциала к потенциалам меньшим, отрицательные же двигались бы в обратном направлении, что вело бы к выравниванию потенциалов. В результате все

соединенные между собой проводники приобрели бы одинаковый потенциал, и ток прекратился бы. Иными словами, при наличии одних лишь кулоновых сил стационарное поле должно быть полем статическим. Таким образом, мы приходим к выводу, в известном отношении напоминающему теорему Ирншоу: как и в § 19, нам приходится ввести в рассмотрение силы неэлектростатического происхождения, действующие на электрические заряды. Разница лишь в том, что в § 19 введение подобных сил вызывалось необходимостью учесть возможность устойчивого равновесия системы электрических зарядов, теперь же нас вынуждает к этому факт существования постоянных токов.

Итак, мы должны допустить, что, помимо электрических сил стационарного электрического поля, на электрические заряды в проводниках может действовать еще некоторое поле сил неэлектростатического происхождения. Для краткости мы будем называть эти силы сторонними (электростатическому полю) и будем обозначать напряженность поля сторонних сил через Естр.

К сторонним силам в этой главе мы причисляем все ЭДС неэлектростатического происхождения. Весьма важный класс этих сил будет сведен в гл. VI к силам переменного электромагнитного поля (индукционным), после чего мы уже не будем применять к силам этого класса термин «сторонние». Помимо них существуют, однако, и силы «сторонние» в собственном смысле слова, обусловленные химической и физической неоднородностью проводников. Таковы силы, возникающие при соприкосновении проводников различного химического состава (гальванический элемент, аккумулятор) или различной температуры (термоэлемент), при наличии градиента концентрации в растворе электролита (концентрационный гальванический элемент) и т. д. Конечно, перед электронной теорией материи стоит задача выяснить механизм возникновения всех «сторонних» ЭДС и свести их к взаимодействию электрических зарядов, входящих в состав атомов неоднородных проводников. Задача эта, однако, выходит за рамки этой книги.

2. Если под действием электростатического поля в проводнике возникает, согласно (36.5), ток плотности

то под совокупным действием поля и поля сторонних сил Естр должен, очевидно, возникать ток плотности

Это выражение представляет собою дифференциальную форму обобщенного закона Ома (для случая наличия сторонних ЭДС), из которого нетрудно получить и интегральную форму этого закона. При этом в настоящем параграфе нам достаточно будет ограничиться рассмотрением квазилинейных токов.

3. Квазилинейными (не смешивать с линейными, о которых будет идти речь в следующей главе) токами мы будем называть токи, удовлетворяющие следующим условиям, в каждом участке несущего ток проводника можно определить направление его оси так, чтобы во всех точках любого перпендикулярного оси сечения проводника все физические величины Естр и т. д.) можно было с достаточной точностью считать постоянными и чтобы вектор плотности тока был параллелен (или антипараллелен) этой оси. Такие токи мы называем квазилинейными потому, что в ряде случаев рассмотрение несущего ток проводника может быть заменено рассмотрением его оси, которую мы будем называть контуром тока.

4. Рассмотрим произвольный участок квазилинейного тока, заключенный между сечениями 1 и 2, и предположим сначала, что в этом участке нет разветвлений цепи тока. Пусть перпендикулярное оси сечение проводника равно причем, вообще говоря, может быть переменным по длине проводника. Разделив уравнение (38.1) на А, умножая, далее, это уравнение скалярно на элемент оси проводника взятый по направлению тока и интегрируя от сечения 1 до сечения 2, получим (ввиду того, что

Заменим в первом интеграле на и вынесем как величину постоянную за знак интеграла. Далее, интеграл

есть не что иное, как сопротивление участка проводника, лежащего между сечениями 1 и 2, ибо подынтегральное выражение равно сопротивлению элемента длины проводника; в частности, для однородного проводника постоянного сечения совпадает с (36.4). Стало быть, окончательно:

что представляет собой наиболее общую интегральную форму обобщенного закона Ома.

Напряжение сторонних ЭДС между точками 1 и 2 [ср. (35.3)]

часто называется просто электродвижущей силой, приложенной между этими точками, и сокращенно обозначается через ЭДС. Внеся (35.3) и (38.3) в (38.2), получим

Стало быть, произведение силы тока на сопротивление произвольного участка проводника равно сумме напряжения и сторонней ЭДС, приложенных к этому участку.

Если электрическое поле обладает потенциалом как это имеет место в стационарном поле постоянных токов, то, согласно (35.2), последнее уравнение может быть записано так:

Частным случаем этого уравнения при отсутствии сторонних ЭДС является наше исходное выражение (35.1) необобщенного закона Ома.

5. Если замкнутый квазилинейный ток лишен разветвлений, то, выполняя в уравнении (38.2) интегрирование по всей длине этого тока, получим

где полное сопротивление замкнутого проводника. Если E обладает потенциалом, то, согласно (7.3), первый интеграл обращается в нуль, так что для постоянного тока (38.6) принимает вид

где полная ЭДС в цепи тока. Стало быть, сила неразветвленного постоянного тока равна частному от деления полной сторонней ЭДС в его цепи на сопротивление этой цепи. Таким образом, при отсутствии сторонних ЭДС сила постоянного тока должна равняться нулю, как это уже отмечалось в начале параграфа.

Рис. 38

Рассмотрим, наконец, произвольную цепь квазилинейных токов с произвольным числом разветвлений (рис. 38) и составим из отдельных участков этой цепи какой-либо произвольный замкнутый контур например контур 12 3 1. Пусть есть ток в отрезке причем величину мы будем считать положительной, если ток идет от точки к точке , и отрицательной в противоположном случае. Составляя для каждого участка цепи

уравнение типа (38.5) и суммируя, получим

Приняв во внимание, что

получим

Итак, в любом замкнутом контуре токов алгебраическая сумма произведений типа равна сумме сторонних ЭДС, приложенных к этому контуру. Это положение носит название второго закона Кирхгофа. Очевидно, что (38.7) есть частный случай применения этого закона к неразветвленной цепи тока.

6. Заметим в заключение, что существование сторонних ЭДС должно быть, конечно, учтено и в электростатике. Так, например, в химически или физически неоднородном проводнике условие электростатического равновесия сводится не к равенству нулю напряженности электрического поля внутри проводника, а к равенству

ибо лишь при этом условии тока в проводнике не будет [ср. (38.1)].

Задача 24. А, В и С суть три последовательные станции на линии телеграфа (рис. 39). Телеграфист в А знает, что между произошло нарушение изоляции линии (что равносильно ее заземлению).

Рис. 39

Включая батарею между землей и своим концом линии, он измеряет возникающую при этом в линии силу тока при трех различных условиях: 1) линия заземлена на станции С и изолирована в В (ток линия заземлена в В и изолирована в С (ток линия изолирована и в В и в С (ток Определить расстояние точки повреждения линии от А. Предполагается, что сопротивлением земли, а также сопротивлением заземления на станциях можно пренебречь.