Главная > Основы теории электричества
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
528
529
530
531
532
533
534
535
536
537
538
539
540
541
542
543
544
545
546
547
548
549
550
551
552
553
554
555
556
557
558
559
560
561
562
563
564
565
566
567
568
569
570
571
572
573
574
575
576
577
578
579
580
581
582
583
584
585
586
587
588
589
590
591
592
593
594
595
596
597
598
599
600
601
602
603
604
605
606
607
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

§ 8. Потенциал электростатического поля

1. То обстоятельство, что работа сил электростатического поля на данном пути зависит лишь от положения начальной и конечной точек пути, дает возможность ввести в рассмотрение чрезвычайно важное понятие потенциала электростатического поля. Определение: разность потенциалов между двумя точками электростатического поля равна взятой с обратным знаком работе, совершаемой силами поля при перемещении единичного положительного заряда из первой точки во вторую. При этом предполагается, что при перемещении пробного единичного заряда все заряды, возбуждающие поле, остаются неподвижными.

Стало быть, разность потенциалов между двумя бесконечно близкими точками, разделенными расстоянием равна

разность же потенциалов между двумя точками находящимися на конечном расстоянии друг от друга, определяется интегралом

причем этот интеграл может быть взят по любому пути, соединяющему точки и Очевидно, что понятие разности потенциалов имеет определенный однозначный смысл лишь в силу

доказанной нами независимости работы электрических сил от формы пути, или, что сводится к тому же, ввиду того, что напряженность электростатического поля удовлетворяет условию (7.3)

Определение понятия потенциала поля вектора содержащееся в уравнениях (8.1) и (8.2), применимо, очевидно, к полю произвольного вектора, удовлетворяющего условию (7.3), вне зависимости от физического смысла этого вектора (сила, скорость и т. д.) и от физического смысла соответствующего потенциала (потенциал сил, потенциал скоростей и т. д.).

2. Очевидно, что потенциалу произвольной точки поля всегда можно приписать любое наперед выбранное значение. Это соответствует тому обстоятельству, что путем измерения работы может быть определена лишь разность потенциалов двух точек поля, но не абсолютная величина потенциала. Однако, как только фиксировано значение потенциала в какой-либо одной точке поля, значение его во всех остальных точках поля однозначно определяется уравнением (8.2).

Обычно аддитивную постоянную в выражении потенциала выбирают так, чтобы потенциал бесконечно удаленных точек равнялся нулю 1). При этом условии потенциал произвольной точки поля определится следующим выражением:

Таким образом, потенциал точки будет равен работе, совершаемой силами поля при удалении единичного положительного заряда из точки в бесконечность.

В поле элементарного (точечного) заряда разность потенциалов между точками согласно (7.5) и (8.2), равна

В этом случае, для того чтобы удовлетворить условию достаточно, очевидно, положить тогда потенциал поля точечного заряда на расстоянии от него окажется равным

3. Потенциал поля произвольной системы точечных зарядов равен, очевидно, сумме потенциалов полей каждого

из этих зарядов в отдельности:

где расстояние точки поля, обладающей потенциалом от заряда Конечно, как эта, так и предшествующие формулы имеют смысл лишь в тех точках поля, расстояния которых от «точечных» зарядов велики по сравнению с размерами этих зарядов.

В случае поверхностных зарядов заряд каждой поверхности может быть разложен на совокупность элементарных зарядов бесконечно малых элементов поверхности

Заменяя в уравнении через и переходя от суммирования к интегрированию по всем элементам всех заряженных поверхностей, получим потенциал поля поверхностных зарядов:

В поле объемных зарядов роль элементарных зарядов будут играть заряды бесконечно малых элементов объема и выражение потенциала (8.6) примет вид

где расстояние точки поля, обладающей потенциалом от элемента объема

Отметим, что, хотя и входит в знаменатель подынтегральных выражений в формулах (8.7) и (8.8), все же выражения эти остаются конечными во всех точках поля объемных и поверхностных зарядов. Рассмотрим, например, формулу (8.8) и введем систему сферических координат а с центром в исследуемой точке поля полярный угол, а — азимут) 1). Элемент объема выразится в этих координатах, как известно, следующим образом:

и формула (8.8) примет вид

причем подынтегральное выражение остается конечным и при значении

Ввиду того, однако, что формулы (8.7) и (8.8) выведены нами из формул (8.5) и (8.6), имеющих смысл лишь для конечных значений при стремится к бесконечности), а также ввиду особой важности формул (8.7) и (8.8) мы выведем их в дальнейшем (§ 12) еще и другим способом, независимо от только что изложенного, и покажем, что они применимы ко всем точкам поля поверхностных и объемных зарядов.

4. Потенциальный характер электростатического поля может быть доказан и без применения закона Кулона путем рассуждений, основывающихся на законе сохранения энергии и невозможности вечного двигателя. Действительно, предположим, что при перемещении пробного заряда по какому-либо замкнутому пути в поле неподвижных зарядов (см. примечание на с. 43) силы этого поля совершают положительную работу А. Так как по возвращении пробного заряда в исходное положение вся система возвращается в исходное положение, то, повторяя обход пути произвольное число раз, мы всякий раз получали бы работу А, т. е. осуществили бы вечный двигатель. Если же при обходе пути силы поля совершают отрицательную работу, то стоит лишь изменить направление обхода на обратное, чтобы получить работу положительную. Таким образом, работа сил поля на всяком замкнутом пути должна равняться нулю, из чего, как мы видели, следует существование однозначного потенциала поля.

5. В абсолютной системе единиц единица потенциала определяется следующим образом: разность потенциалов двух точек поля равна единице, если при перемещении абсолютной единицы заряда из одной точки в другую силы поля совершают единицу работы, т. е. работу в один Размерность же потенциала равна, очевидно:

Абсолютная единица потенциала слишком велика по сравнению с теми разностями потенциалов, с которыми обычно приходится иметь дело на практике. Поэтому практической единицей потенциала служит вольт: единицы потенциала.

Пример. Определить потенциал поля диполя.

Предположим, что два равных точечных заряда противоположных знаков находятся на расстоянии I друг от друга, причем вектор 1 направлен от отрицательного заряда к положительному (рис. 13). Вектор

носит название электрического момента этих зарядов. Потенциал обоих зарядов в произвольной точке поля равен

Рис. 13

Если расстояние I между зарядами мало по сравнению с расстояниями этих зарядов от исследуемых точек поля, то совокупность зарядов носит название диполя, или биполя, что значит «двойной полюс».

В этом случае можно приближенно положить:

где угол между направлением момента диполя и радиусом-вектором проведенным от диполя к «точке наблюдения» (рис. 13). Ввиду малости расстояния I безразлично, из какой именно точки диполя проведен этот радиус-вектор Таким образом, потенциал диполя принимает вид

Это выражение можно также представить в несколько ином виде с помощью известной формулы векторного анализа (10:

где индекс а означает пространственную производную от по координатам «точки наблюдения», т. е. конечной точки вектора а индекс дифференцирование по координатам «точки истока», т. е. начальной точки вектора (см. приложение, § 2). На основании этих соотношений уравнение (8.10) может быть записано следующим образом:

Эту формулу легко получить и непосредственно. Действительно,

равно приращению скаляра при перемещении на отрезок 1 точки истока радиуса-вектора проведенного из диполя (исток поля) в точку наблюдения Ограничиваясь при достаточно малом 1 первыми производными от получим

откуда непосредственно следует (8.11).

Задача 6. Исходя из уравнения (8.2), показать, что потенциал поля заряженных бесконечных плоскости и полого цилиндра определяется соответственно следующими формулами:

где значение потенциала на соответствующей заряженной поверхности; координата, перпендикулярная плоскости; расстояние от оси цилиндра; радиус цилиндра. Отметим, что в обоих этих случаях удовлетворить условию невозможно.

Задача 7. Показать, что потенциал поля шара радиуса , равномерно заряженного по всему своему объему с объемной плотностью при условии равен

и

где общий заряд шара, расстояние от его центра.

Показать, что при

1
Оглавление
email@scask.ru