§ 46. Вектор-потенциал магнитного поля

1. Одно из основных уравнений магнитного поля — уравнение (44.3) — можно преобразовать к более удобному для вычисления виду. Подынтегральное выражение правой части этой формулы может быть, согласно уравнению (10, записано следующим образом:

Напоминаем при этом, что в уравнении означает радиус-вектор, проведенный из элемента тока («точка истока») в ту «точку наблюдения» в которой определяется напряженность магнитного поля, и индекс а у знака градиента означает, что при определении градиента мы считаем неподвижной точку истока и переменной точку наблюдения.

С другой стороны, полагая в формуле

получим

где индекс а по-прежнему означает, что при образовании пространственных производных переменной считается лишь точка наблюдения Так как значение вектора в элементе (точка истока), очевидно, не зависит от перемещения точки

наблюдения то, стало быть

и

Внося это в уравнение (44.3), получим

Так как в этом выражении дифференцирование (образование ротора) производится по координатам точки наблюдения, а интегрирование — по объему проводников, обтекаемых током, то изменение порядка этих операций не может повлиять на результат вычислений. Стало быть, можно написать

Если ввести обозначение

то уравнение это примет вид

где индекс а при знаке ротора опущен как излишний, ибо при заданном распределении токов вектор А является функцией положения одной лишь точки наблюдения. Таким образом, напряженность магнитного поля может быть представлена в виде ротора некоторого вектора А, который носит название векторного потенциала или вектор-потенциала токов.

2. Заметим, что для линейных токов (т. е. на расстояниях от токов, больших по сравнению с размерами их сечения) выражение векторного потенциала А может быть преобразовано с помощью формулы (44.6) и принимает следующий вид:

3. Введением векторного потенциала А значительно облегчается изучение магнитного поля постоянных токов, подобно тому, как введением скалярного потенциала облегчается изучение электрического поля стационарной системы электрических зарядов 1). Аналогия между ролью векторного и скалярного потенциалов особенно отчетливо выявляется при сопоставлении формул для электростатического и магнитного полей:

Из этого сопоставления явствует также, что вектор плотности тока играет для магнитного поля такую же роль, как скаляр плотности зарядов для поля электрического.

4. Перейдем теперь от интегральных соотношений к дифференциальным уравнениям для вектор-потенциала.

Если ввести произвольную систему декартовых координат х, у, z, то уравнение (46.1) можно записать в следующей форме:

Каждое из этих выражений для каждой из слагающих вектора А совершенно аналогично выражению скалярного потенциала электростатического поля:

В § 12 было показано, что это последнее выражение является решением (интегралом) дифференциального уравнения Пуассона (11.3):

Следовательно, и выражения (46.4) для слагающих вектор-потенциала являются решениями следующих дифференциальных уравнений Пуассона:

Эти три уравнения для слагающих вектора А, согласно (41, равнозначны одному векторному уравнению

которое и является искомым дифференциальным уравнением для векторного потенциала.

Нам остается только рассмотреть вопрос о том, при каких условиях интегральное выражение (46.1) для векторного потенциала однозначно вытекает из дифференциального уравнения (46.5). В § 12 были исследованы условия, при которых приведенное выше интегральное выражение для однозначно вытекает из уравнения Пуассона. Повторяя все рассуждения § 12 с заменой на на и полагая, кроме того, мы придем к тому результату, что интегральное выражение (46.1) для А является единственным решением дифференциального уравнения (46.5), удовлетворяющим следующим условиям:

1) как сам вектор А, так и его пространственные производные конечны и непрерывны во всем пространстве;

2) в бесконечности каждая из слагающих вектора А удовлетворяет условиям типа (12.10):

При этом, разумеется, предполагается, что плотность возбуждающих поле токов конечна во всем пространстве и настолько быстро убывает с что интеграл (46 1) сходится. Если же ввести в рассмотрение поверхностные токи? объемная плотность которых бесконечна, то выражение (46.1) нужно дополнить еще одним членом (см. § 49).

5. Заметим в заключение, что первые производные вектора А по координатам связаны между собою соотношением

Действительно, из уравнения (46.1) следует:

где индекс а у знака дивергенции означает, что пространственное дифференцирование производится по координатам точки наблюдения Но, как указывалось в начале этого параграфа, порядок операций интегрирования по объему токов и дифференцирования по точке наблюдения может быть изменен на обратный. Стало быть,

Применяя уравнение (43), можем написать

ибо значение вектора от координат точки наблюдения не зависит, ввиду чего С другой стороны, воспользовавшись формулой (10 и применив затем вторично формулу (43,

получим

Последний член снова равен нулю, ибо дивергенция вектора равна нулю [уравнение (37.4)]. Стало быть, окончательно:

Последний интеграл можно преобразовать по теореме Гаусса, ибо пространственное дифференцирование под знаком интеграла производится по тем же координатам точек истока, как и интегрирование (в отличие от предшествующего выражения для в котором дифференцирование под знаком интеграла производилось по координатам точки наблюдения). Следовательно,

причем интегрирование должно быть распространено по поверхности всех обтекаемых током проводников. Но на поверхности проводников, согласно уравнению (37.6),

следовательно,

что и требовалось доказать.