§ 30. Энергия электрического поля в диэлектриках

1. В § 15 было выведено выражение (15.6) для энергии электрического поля в отсутствие диэлектриков:

Эта формула остается справедливой и для случая электрического поля в произвольный среде, если только под и а понимать плотность свободных зарядов. Влияние же диэлектрика сказывается в том, что при одном и том же распределении свободных зарядов значение потенциала в диэлектрике отличается от значения его в вакууме. В частности, при том же распределении свободных зарядов потенциал а вместе с тем, согласно (30.1), и энергия в однородном диэлектрике в раз меньше, чем в вакууме.

2. Чтобы доказать справедливость формулы (30.1) в случае наличия диэлектриков, нужно было бы вычислить работу А сил поля при перемещениях как свободных зарядов, так и самих диэлектриков и показать, что

Доказательство справедливости этого соотношения при произвольных перемещениях свободных зарядов, но при неподвижности диэлектриков совершенно аналогично рассуждениям, приведшим нас в § 15 к формуле (15.6). Рассматривая перемещение заряда в поле заряда получаем формулу (15.2)

где потенциал поля заряда в точке нахождения заряда Рассматривая же перемещение заряда получаем

Очевидно, что оба выражения для должны совпадать:

Таким образом, мы вновь приходим к уравнениям (15.3), (15.4) и (15.6), что и требовалось доказать.

Конечно, уравнение (15.5) уже не имеет места при наличии диэлектриков, ибо

3. Для исчерпывающего обоснования формулы (30.1) нужно еще вычислить работу А сил поля при произвольных перемещениях диэлектриков и убедиться в том, что она также равна Однако строгое проведение этого вычисления было бы не только весьма сложно, но и не могло бы быть выполнено без определенных предположений о строении и свойствах диэлектриков. Поэтому мы удовольствуемся приведенным обоснованием формулы (30.1) и обратим задачу, т. е. будем в дальнейшем рассматривать это выражение для энергии [или, точнее, выражение (30.4), — см. ниже] как один из постулатов макроскопической теории поля, следствия из которого оправдываются на опыте. В частности, мы будем с помощью (30.2) определять работу сил поля при перемещениях диэлектриков, исходя из выражения (30.1) для энергии, как из данного.

Помимо этого, мы здесь и в следующем параграфе покажем, что в тех простейших случаях, когда нетрудно непосредственно подсчитать работу сил поля при перемещениях диэлектриков, результаты подсчетов совпадают со следствиями, вытекающими из формулы (30.1).

4. Как уже упоминалось в § 16, выражение электрической энергии (30.1) по своей форме соответствует представлению о взаимодействии зарядов на расстоянии. Однако, как и в случае отсутствия диэлектриков, это выражение может быть преобразовано так, чтобы соответственно представлениям теории близкодействия энергию поля можно было считать распределенной с определенной объемной плотностью по всему пространству, в котором поле отлично от нуля. Действительно, подынтегральное выражение первого из интегралов, входящих в (30.1), на основании (22.2), (432) и (10.2) может быть представлено в следующем виде:

откуда на основании теоремы Гаусса (17 имеем

Последний интеграл должен быть распространен, во-первых, на поверхность ограничивающую объем интегрирования V, и, во-вторых, на поверхности выделяющие из этого объема поверхности разрыва подынтегрального выражения, т. е.

поверхности разрыва нормальной слагающей вектора D (ибо потенциал должен быть непрерывным, поскольку мы не рассматриваем двойных электрических слоев). Если мы условимся рассматривать полное поле, то интеграл по ограничивающей его поверхности обратится в нуль (см. с. 81). Поверхности же разрыва нормальной слагающей вектора являются поверхностями, заряженными свободным электричеством, причем скачок этой слагающей определяется уравнением (22.8). Стягивая обычным образом поверхности вплоть до полного прилегания их к поверхностям разрыва мы получим уравнение

Таким образом,

и, следовательно, энергия полного поля, согласно (30.1), равна

Это выражение можно истолковать в том смысле, что энергия электрического поля распределена по всему занимаемому им пространству с объемной плотностью равной

Уравнение это является одной из основных формул теории электричества. Частным случаем его при является (16.3).

Эквивалентность выражений (30.1) и (30.4) имеет место только в постоянном электрическом поле и, как мы увидим в дальнейшем, нарушается в поле переменном. Переменное электрическое поле вообще не может быть охарактеризовано однозначным скалярным потенциалом и поэтому формула (30.1), в которую входит теряет смысл в переменном поле; выражение же (30.4) для энергии электрического поля остается справедливым и в переменном поле и должно поэтому рассматриваться как основное определение энергии электрического поля.