§ 90. Скин-эффект

Выше мы вовсе не входили в рассмотрение вопроса о распределении переменных токов по сечению проводников. Между тем этот вопрос важен не только с теоретической, но и с технической точки зрения. Как мы сейчас покажем, даже в однородном квазилинейном проводнике (§ 38) переменный ток в отличие от постоянного не распределяется равномерно по сечению проводника, а, вообще говоря, концентрируется на его поверхности. Это

явление, получившее название скин-эффекта (английское слово «скин» значит кожа; ток концентрируется на «коже» проводника), в свою очередь влечет за собой изменение эффективного сопротивления и самоиндукции проводника.

1. При изложении теории скин-эффекта проводников мы будем исходить из основных уравнений электромагнитного поля (85.3) и (88.5):

(предполагаем, что Естр и что от времени не зависит).

Как указывалось в § 88, плотность токов смещения в проводниках или по крайней мере в металлах исчезающе мала по сравнению с плотностью токов проводимости. Поэтому в последнем уравнении мы можем пренебречь вторым членом и положить [ср. уравнение (47.3)]:

Рассмотрим однородный проводник, на протяжении которого суть величины постоянные. В этом случае, образовав вихрь уравнения (85.3) и внеся в него приведенное значение получим

С другой стороны, на основании уравнения (42})

причем, если внутри проводника нет объемных зарядов то ввиду постоянства из уравнения (22.4) следует:

Стало быть, дифференциальное уравнение электрического поля внутри однородного проводника может быть записано так:

Подобным же способом легко получить аналогичное уравнение и для магнитного вектора Н:

2. Ограничимся рассмотрением переменных полей, напряженность которых является синусоидальной функцией времени, и будем выражать их напряженность в комплексной форме (ср. § 80, с. 369):

где амплитуды могут быть комплексными векторами но от времени не зависят.

Внося уравнение (90.3) в уравнение (90.1) и сокращая его затем на временной фактор получим следующее уравнение для амплитуды электрического вектора:

где нами введено обозначение

3. Рассмотрим сначала следующий простейший случай. Пусть бесконечный однородный проводник занимает полупространство так что его поверхность совпадает с плоскостью Предположим, что электрическое поле, а стало быть, и ток направлены по оси х параллельно граничной поверхности (рис. 78). Предположим, далее, что напряженность поля зависит только от расстояния z рассматриваемой точки проводника от его поверхности, но не зависит от

Рис. 78

При этих условиях уравнение (90.4) поля внутри проводника (т. е. при принимает вид

Общее решение этого линейного уравнения, как известно, имеет вид

где — постоянные интегрирования, а корень уравнения

т. е.

Таким образом,

причем, согласно уравнению есть величина вещественная. Так как поле в проводнике ограничено тонким поверхностным слоем, то постоянную интегрирования А нужно положить равной нулю, ибо в противном случае при увеличении при удалении от поверхности в глубь проводника, росло бы до бесконечности. Переходя, кроме того, от амплитуды электрического вектора к его полному комплексному выражению, получим

Отбрасывая мнимую часть, получаем окончательно

Соответственно этому плотность тока выражается формулой

где через обозначена амплитуда плотности тока на поверхности проводника.

Таким образом, по мере проникновения в глубь проводника фаза электрического вектора и плотности тока изменяется линейно, а их амплитуды убывают по экспоненциальному закону. При этом основную часть тока можно считать сосредоточенной в поверхностном слое толщиной в см, ибо на этой глубине плотность тока уже в раз (т. е. примерно в 2,7 раза) меньше плотности тока у поверхности проводника.

Чтобы оценить толщину этого слоя, рассмотрим конкретный пример. Для меди можно положить

Циклическая частота равна

где число периодов в секунду. При 1000 периодах из уравнения (90.5) следует:

При периодах в секунду, что соответствует сравнительно медленным радиотелеграфным колебаниям (длина волны получаем

Таким образом, в первом случае ток практически сосредоточен в слое толщиной в а во втором — в слое всего лишь толщины.

В случае постоянных токов следовательно, так что напряженность поля и плотность тока сохраняют постоянное значение во всей толще проводника.

4. Результаты, полученные при рассмотрении бесконечного проводника, остаются качественно применимыми и к практически наиболее интересному случаю цилиндрических проводников. И в этом случае переменный ток концентрируется на поверхности проводника тем сильнее, чем больше частота тока. Концентрация тока на поверхности влечет за собой изменение сопротивления и самоиндукции проводника; таким образом, для переменных токов эти величины уже не являются постоянными, а зависят от частоты тока. Так, например, если весь ток концентрируется в поверхностном слое цилиндрического провода, то сопротивление провода должно стать равным сопротивлению полого цилиндра, обладающего стенками соответствующей толщины. По мере увеличения частоты толщина проводящего ток слоя уменьшается, и сопротивление проводника должно увеличиваться.

Введем цилиндрическую систему координат ось которой совпадает с осью цилиндрического провода, и допустим, что в рассматриваемом участке провода поле направлено по оси провода, причем его напряженность зависит только от координаты но не зависит ни от z, ни от а.

При этих условиях уравнение (90.4) принимает вид

Уравнения этого типа носят название уравнений Бесселя. Коэффициент при в этом уравнении обращается при (т. е. на оси провода) в бесконечность, поэтому и решения уравнения Бесселя при вообще говоря, тоже обращаются в бесконечность. Существует только одно вполне определенное (с точностью до произвольного постоянного множителя) решение уравнения (90.8), которое остается конечным на оси провода; это решение носит название бесселевой функции нулевого порядка от аргумента и обозначается символом (не смешивать символа бесселевой функции с обозначением силы тока). Так как должно обладать конечным значением во всей толще провода, то из (90.8) следует:

В теории бесселевых функций доказываются следующие две формулы:

при

при

Мы ограничимся рассмотрением двух предельных случаев где радиус провода. В первом случае (малая частота тонкий провод) можно на протяжении всего сечения провода ограничиться первыми членами разложения (90.10). Напряженность поля и плотность тока будут в этом случае лишь незначительно изменяться на протяжении сечений: с помощью (90 10) легко показать, что амплитуда действительной части плотности тока будет возрастать при удалении от оси тока приблизительно пропорционально

В случае же больших частот и толстых проводов и на ббльшей части сечения провода может быть заменено приближенным выражением (90.11), так что

Переходя от амплитуды напряженности поля к ее полному комплексному выражению и отбрасывая затем мнимую часть, получаем

где суть постоянные

Таким образом, в этом случае плотность тока экспоненциально убывает по мере удаления от поверхности в глубь проводника; основная часть тока сосредоточивается, как и в рассмотренном выше бесконечном проводнике, в поверхностном слое толщины см.

Ввиду этого при определении, например, полной силы тока в проводнике мы можем проинтегрировать выражение (90.12) для по всему сечению проводника; хотя в глубине проводника при это выражение и перестает быть справедливым и даже обращается в бесконечность на оси проводника, все же внутренние области проводника (при условии практически ничего не привносят в полную силу тока.

Итак, полная сила тока в проводнике при равна

Ввиду того, что подынтегральное выражение весьма быстро спадает при удалении от поверхности проводника, можно приближенно заменить его значением на поверхности:

Выполняя интегрирование и пренебрегая членом порядка получаем

Наконец, среднее за период значение квадрата силы тока равно

Определим, наконец, количество джоулева тепла, выделяющегося в единице длины провода за единицу времени:

Так как среднее за период значение квадрата косинуса равно 1/2, то

или, пренебрегая членом по сравнению с единицей, получаем

5. Если есть среднее количество джоулева тепла, выделяемого в проводнике за единицу времени переменным током силы то сопротивлением проводника переменному току целесообразно назвать отношение значения к среднему за период значению квадрата силы переменного тока

В технике эту величину принято называть омическим или ваттным сопротивлением проводника.

Для постоянного тока так что приведенное выражение совпадает с законом Джоуля [уравнение (35.7)].

Для случая квазистационарного переменного тока в цепи с самоиндукцией, рассмотренного в § 80, определяемое этим выражением значение ваттного сопротивления совпадает с обычным сопротивлением цепи постоянному току. Действительно, внося в уравнение (80.10), выражающее величину потребляемой в цепи мощности (которая, очевидно, равна выделяющемуся в цепи теплу), значение среднего квадрата силы тока из уравнения (80.7), получаем

В случае же быстропеременных токов, когда ток сосредоточивается в тонком поверхностном слое проводника из (90.13)

и (90.14) следует, что ваттное сопротивление единицы длины провода равно

Таким образом, проводник оказывает переменному току циклической частоты а; такое же сопротивление, какое он оказывал бы постоянному току, если бы ток был сосредоточен в поверхностном слое проводника сечения т. е. толщины

6. В отличие от сопротивления самоиндукция проводника уменьшается по мере увеличения частоты тока. Действительно, самоиндукция проводника, согласно определению, пропорциональна энергии магнитного поля тока, циркулирующего по этому проводнику [уравнение (81.8)]. С другой стороны, известно, что если ток сосредоточен, например, на поверхности цилиндрического проводника, то магнитное поле внутри проводника равно нулю (см. задачу 29 на с. 209); поле же вне цилиндра от распределения тока по его сечению не зависит (поскольку распределение это сохраняет аксиальную симметрию). Следовательно, по мере концентрации тока на поверхности проводника уменьшается энергия его поля, а стало быть, и самоиндукция проводника, причем последняя стремится к пределу равному внешней самоиндукции проводника (см. с. 386).

К тому же выводу можно прийти, приняв во внимание, что магнитное поле в проводниках определяется дифференциальным уравнением (90.2) того же вида, как и электрическое поле, и что, стало быть, как электрическое, так и магнитное поле быстропеременных токов в глубь проводников не проникает.